出産前後の痔にはご注意!

次のようなクイズが新聞にのっていました。
長さ約60cmのタコ糸の一端に20gくらいのおもりを、他端に小さなダブルクリップを結びつけます。おもり側を片手で支えた丸い棒にひっかけ、他方の手でダブルクリップを持ち水平に糸をのばします。
ダブルクリップを離すと、クリップはおもりに引っ張られ、棒のほうに行きますが、おもりと一緒に、棒の反対側に落ちるのではなく、糸が棒にくるくる巻き付いて、おもりの落下を止めます。
このようになる理由は、次の通りだと書かれています。
手から離れたクリップは、おもりに引かれると同時に振り子運動を始める。おもりの落下につれて、その振り子の糸はどんどん短くなる。
糸が短くなれば、振り子の振れ方は速くなり、最後は円運動に変わる。
そのため糸は棒に何回も巻きつき、おもりの落下を途中でとめる。
振り子の周期がどんどん短くなるとなぜ円運動になるのか理解できません。
どなたか説明していただけないでしょうか。
よろしくお願いいたします。

A 回答 (2件)

重力の中で円運動ができるための条件は,円の頂点での向心力が重力に等しい回転状態になったときです。


この条件は半径が小さくなればなるほど,速度が遅くても成り立ちますから,クリップが紐に引かれて回転半径が小さくなると,クリップの持っている速度がこの条件を満たすようになりそのときは,振り子のように戻ることなく円運動をはじめます。

ざっくり言葉で書くとこうなりますが,ちゃんと式で現象を追いかけるといろいろ面白いと思いますよ。
たとえば,おもりとクリップの重さがどのくらい違うとこのようにまきつくかとか・・・
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この回答へのお礼

chiezo様
さっそくのご回答感謝いたします。
>おもりとクリップの重さがどのくらい違うとこのようにまきつくかとか

確かにやってみたところ、おもりがあまり重くてもうまく巻きつきません。おもりとクリップの重さの差が問題だったのですね。
なぜ振りこの運動が円運動になるのかご説明でなんとなく分ったような気がしました。
ありがとうございました。

お礼日時:2007/04/19 21:21

ついでながら,重さだけでなくたぶん紐も長さも関係があると思います。


錘が落ちていく速度とクリップの振り子の振動周期,ここらあたりが
うまくバランスしないと,振り子が一振りもしないまま落ちたりする可能性があることは推察できますよね。
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この回答へのお礼

chiezo様
再度のアドバイスありがとうございます。
実際に円運動に移る瞬間が見たいのですが、あっという間で全然分らないのが残念です。

お礼日時:2007/04/20 20:23

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Q<<単振り子>>最下点通過のときの糸の張力?

はじめまして。高校生のlemon9です。
高校物理の質問があって投稿しています。
【問題】
糸の一端に物体をつけ他端を天井の一箇所に固定して、
糸が鉛直方向と60゜(=θ)を成す位置から振らせる。
(単振り子の状態)
物体が最下点を通過するとき、物体に働くすべての力とその大きさは?


という問題で、働く力は、
●糸の張力=T  ●重力=mg
ここまでは分かりました。

しかし、模範解答によれば、
"この2力の間には、T=2mgなる関係が存在する"
ということで、そこが分からず困っています。
学校の先生は高校物理IIの知識を使うのだとおっしゃっていたのですが、自分の持ち合わせの教材が物理Iまでのものなので、解決することが出来ませんでした。

さらに、θ=90゜のときの最下点の張力についても教えて頂けたら嬉しいです。お願いいたします(__)

Aベストアンサー

 まず、振り子の糸のの長さを L 最下点での速度を v とすると、力学的エネルギーの保存から
(1/2)mv^2=mg(1/2)L
となり、後の計算のためにこれを mv^2=mgL と変形しておきます。

 最下点では半径 L の円運動をしており、おもりには mv^2/L だけの向心力(上向き)が働いています。(ここは 物理II の内容です)

 この向心力は、おもりに働く張力T(上向き)と重力mg(下向き)によって生じているので、

T-mg=mv^2/L

となります。この式に先の mv^2=mgL を使って変形すれば T=2mg が得られます。

Qフーコの振り子って・・・

学生時代に、少し習った記憶があるのですが、
いまいちよく分かりません・・・
詳しい方・・・是非分かりやすく教えていただけると
嬉しいです!

私の認識では、
フーコという人が、地球の自転を証明するのに、
振り子を高いところからつるして、振り子の「振る」向きが
時間とともに変わるのは、振り子の向きが変わったのではなく
地球が自転している、ということの証明として、説明したものだと
認識していたのですが、これで間違いないでしょうか?

また、このフーコの振り子の原理というか、仕組みというか・・・
そういったものを、小学生くらいの子供たちに、分かりやすく
説明する方法はないものでしょうか・・・

Aベストアンサー

> フーコという人が、地球の自転を証明するのに、
> 振り子を高いところからつるして、振り子の「振る」向きが
> 時間とともに変わるのは、振り子の向きが変わったのではなく
> 地球が自転している、ということの証明として、説明したものだと
> 認識していたのですが、これで間違いないでしょうか?

tak-m さんの認識されているとおりです.
フーコでなくてフーコーと普通呼んでいます.
フーコー(J. B. L. Foucault,1819.9.19-1868.2.11,理化学辞典による)
はフランスの物理学者.
フーコー振り子の他,光速の測定や渦電流の研究で有名です.

簡単に言いますと,振り子の振動面は不変ですが,地球は24時間で1回自転します.
我々も建物も地球に固定されていますから,
我々から見ると振り子の振動面の方が回転するように見えるわけです.
振り子の支点には多少工夫が必要で,どの方向にも振動できるようにする必要があります.
また,空気抵抗ですぐ止まってしまうと振動面の回転が見えませんから,
長い振り子で重いおもりの必要があります.
振り子が長いとおもりの運動がゆっくりで,空気抵抗が少ないというわけです.
平凡社の世界大百科事典を見ますと,
「フーコーは長さ67mの糸に28kgのおもりをつるして実験をしたと伝えられる。」
と書いてあります.

単純に考えますと,地球が24時間で1回転しますから,
1時間あたり 360÷24 = 15 [度] の割合で回転しそうです.
北極に振り子を置くと確かにそうで,
北極の上方から見ると1時間に15度の割合で時計回りに振動面が回転します.
北極以外ですと,振り子の振動面はいつも地球の中心を含むような面ですから,
地球の回転軸と振り子の振動面はある角度を持つことになります.
ここらへんをきちんと扱うと,振動面の回転角度は1時間あたり 15 sin λ 度
であることを導くことができます.
λはその地点の緯度.
したがって,赤道(λ=0)では振動面の変化はなく,
北極(λ=90゜)では1時間あたり15度になります.
南半球では回転方向が北半球の場合と逆になります.

15 sin λ 度 をきちんと導くには力学の回転座標系とみかけの力(遠心力,コリオリ力)
などの知識が必要です.
理工系大学1年程度の力学のレベルですが,最近学生のレベルが下がり,
1年生の授業ではなかなかそこまで行きません.
そういうわけで,きちんとした議論は小学生には無理ですが,
「振り子の振動面は不変で,地球の方が回転しているから,
地球に固定されている我々から見ると,振動面が回転しているように見える」
くらいで十分ではないでしょうか.
もしかしたら,「1時間に15度の割合ですか?」と突っ込んでくる鋭い
小学生もいるかも.

有名なところでは,東京上野の科学博物館に実物があります.
あと,姫路科学館にもあるという話を聞いたことがあります.
他にも○○科学館のようなところにあるかも知れません.

> フーコという人が、地球の自転を証明するのに、
> 振り子を高いところからつるして、振り子の「振る」向きが
> 時間とともに変わるのは、振り子の向きが変わったのではなく
> 地球が自転している、ということの証明として、説明したものだと
> 認識していたのですが、これで間違いないでしょうか?

tak-m さんの認識されているとおりです.
フーコでなくてフーコーと普通呼んでいます.
フーコー(J. B. L. Foucault,1819.9.19-1868.2.11,理化学辞典による)
はフランスの物理学者.
フーコー振...続きを読む

Q単振り子の運動方程式

重力加速度g、質量m、紐の長さl、空気抵抗無視。

単振り子の運動方程式はこうなりますよね。
mlθ"=-mgsinθ
これがよくわからないのです。
どういう座標系についての運動方程式なのですか?

軌道にそってx軸を定めると
θl=x
mx"=-mgsinθ  軌道に沿った運動方程式?
⇔mlθ"=-mgsinθ  どういう座標系の運動方程式なの?
そしてこれの一般解はどういう風になりますか?
初期条件としてt=0でθ=φとします。

Aベストアンサー

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

  y
  ↑
  ・→x
   \
   →\
   θ \
      ●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ  (1)
y= -l cosθ  (2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」などとわざわざ断っていないわけです。
極座標系に移行したことで問題の本質はx(t), y(t)の代わりにl(t), θ(t)を求めることに帰着します。大抵の場合はひもは伸び縮みしないと仮定しますのでlについて解く必要はなく、θについてのみ解くことになります。その方程式が
ml(d^2θ/dt^2)= -mg sinθ  (3)
なわけです。

しかしこの方程式は初等関数の範囲では解くことが出来ません。そこで初等物理の範囲ではθが小さい場合に限って問題を考えることにし、
sinθ≒θ  (4)
の近似を行って解きます。このとき(3)は
ml(d^2θ/dt^2) = -mg θ  (5)
となります。これの解き方はいろいろあります。線形微分方程式の理論を知っていれば解は直ちに
θ= C sin{√(g/l) t+α} ←Cは定数  (6)
だと分かります。αはC sinα=φを満たす定数です。
2階の微分方程式ですが初期条件が「t=0でθ=φ」の一つしか与えられていないので、定数が一つ未定のまま残ります(*1)。

愚直に微分方程式を解くのであれば下のようにやります。
l(d^2θ/dt^2)(dθ/dt) = -g θ(dθ/dt)
d/dt {(dθ/dt)^2} = -(g/l) d/dt (θ^2) ←両辺に(dθ/dt)をかけた上で、積の導関数の公式((y^2)'=2y y')を逆に使った
(dθ/dt)^2 = -(g/l) θ^2 +C1 ←C1は積分定数
dθ/dt = √{-(g/l) θ^2 +C1}  (7)
ここでθ=√(l/g)√C1 sinψと変数を変換すると
dθ/dt = √C1√(1-sin^2 ψ)  (8)
を経て
√(l/g)√C1 cosψ dψ = √C1 cosψ dt  (9)
と変形でき、両辺を積分することで
√(l/g) ψ= t+C2 ←C2は積分定数  (10)
を得ます。θの表式に戻すと
θ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g) (t+C2)}  (11)
となります。これは本質的に(6)と同じ式です。初期条件「t=0でθ=φ」を代入することで
φ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g)C2}  (12)
を得ます。これを使うと(11)からC1, C2のいずれかを消去できます。初期条件がもう一つあれば運動は一意に定まります(脚注参照)。

もちろん、「軌道に沿ってx軸を定める」でも解けます。この場合の運動方程式は
m(d^2 x/dt^2)= -mg sin(x/l)  (13)
となります。本質的に(3)と同じであることは申し上げるまでもなく、同様に解くことができます。

考え方は上記でよいはずですが中間で計算ミスがあるかも知れませんので、ONEONEさんご自身でも確認しながら読んで頂けると幸いです。

*1 もし初期条件が「t=0でθ=φまでおもりを持ち上げて手を放す」という意味であれば、「θの最大値はφ(厳密には|φ|)」という条件が新たに加わるので運動は一意に定まります。この場合はφsinα=φからα=π/2、よってθ=φsin{√(g/l) t+(π/2)}=φcos{√(g/l) t}と求めることができます。

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

  y
  ↑
  ・→x
   \
   →\
   θ \
      ●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ  (1)
y= -l cosθ  (2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」...続きを読む

Qdxやdyの本当の意味は?

宜しくお願いします。

昔、高校で
dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。
が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。
「両辺をdy倍して…」等々、、、
また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。

結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか?
(何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました)
一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい
のにとも思ったりします。

実際の所、
dxの定義は何なんですか?
dyの定義は何なのですか?
本当はdxとdyはばらばらにできるのですか?

どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。

Aベストアンサー

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。

さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。たとえばy=log xなど。これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。あるいは、中学高校でよくやっているのは(もちろん意識してませんが)、x軸かy軸を適当に尺度を変えてやるという変換、y=axというのもよくやります。さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか?ということを考えます。それが次の式です。大学では多変数バージョンを普通やります。

y=f(x)とyがxの関数でかけているとき、yの全微分d(y)はxの全微分d(x)を用いて、
d(y)=f'(x)d(x)
と表される。

これは微積分でやる置換積分の公式(チェイン・ルール)と呼ばれるものそのものです。代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d(x)やd(y)は単独に定義できる諸量です。

その意味では、dy/dxという記号は二つの意味に解釈できます。すなわちyというxの関数をxで微分した、という単なる記号だと思う方法(もちろんそれはy=f(x)であるときは、f'(x)を指すわけです)、ただし(d/dx)yと書くほうが望ましい。もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる(つまりdyとdxの比だと思う)という方法です。これはdy=f'(x)dxなのだから、dyはdxに比例定数f'(x)で比例している、と思うのだ、というわけです。分数の表記は形式的な意味しか持ちません。ですが、この両方の解釈をよくよく考えてみると、dy/dxは本当に分数のように扱うことが出来ることも意味しています。むしろそうできるように微分形式(dyとかdxとか)の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。もう一度かくと、(d/dx)y=dy/dxなのだ、ということです。左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。いずれも同じ関数f'(x)になっているのです。学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。うまく出来すぎていると感嘆するほどです。

微分記号と思うという立場にたったとき、なぜd/dxと書くのか、あるいは積分記号になぜdxがつくのか、ということは高校レベルの数学では理解することはできません。もともとたとえばニュートンなんかが微分を考えたときは、d/dxなどという記号は使わず、単に点(ドット)を関数の上につけて微分を表していたりしました。そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。

なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量(の1次近似)とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。物理などでよく使われる考え方です。またこれは大学3年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。実はそれが高校でも現れる、∫(なんとかかんとか)dxというやつなのです。

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、...続きを読む


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