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フビニの定理
もし、f(x,y)が可積分ならば、
∫f(x,y)dx,∫f(x,y)dy
がa.e.で存在していて、ともに可積分であり、等式
∫f(x,y)dxdy=∫[∫f(x,y)dy]dx=∫[∫f(x,y)dx]dy
が成り立つ。

それで、
f(x,y)が可積分でないときは、上式の第2式と第3式が存在しても、
その値が異なる場合がある例として、
 1 1
∫[∫(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2 dy]dx=π/4 
 0 0

 1 1
∫[∫(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2 dx]dy=-π/4 
 0 0

となるそうなのですが、この積分結果が導出できなくて困っています。
部分分数展開やら試してみたのですが、どうもうまくいきません。

A 回答 (1件)

有名問題なのでズルして結果を示すと


∫(0~1)[∫(0~1)(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2 dy]dx
=∫(0~1){[y/(x^2+y^2)](積分にy=0,1を代入)}dx
=∫(0~1){1/(x^2+1)}dx
=π/4

同様に
∫(0~1)[∫(0~1)(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2 dx]dy
=∫(0~1){[-x/(x^2+y^2)](積分にx=0,1を代入)}dy 
=∫(0~1){-1/(y^2+1)}dy
=-π/4
のようですね.
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この回答へのお礼

第1式から第2式が、しんどいですね。
2式から1式は検算で出せたのですが、
やはり思いつくしかないのでしょうか。

ずっと詰まってましたが、納得することができました。
ありがとうございました。

お礼日時:2002/06/17 13:53

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