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モノポールがあった場合、ベクトルポテンシャルってどうなるんでしょうか?
もはや、B=rotAの形で書けないですよね?
もっと言うと、モノポールがあった場合に、Maxwell方程式の共変性が成り立たなくなってしまうと思うのですけど。

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A 回答 (1件)

少し修正を加えるだけで問題はありません。


(少しとは言ったものの、気合を入れないと式を間違いそうです。)
ibm_111 さんの他の質問への解答を拝見しましたところ物理学に精通しておられるようなので、
どの文字がベクトルを表すのかあたりの判断はお任せします。
また、見にくくなるかもしれませんが光速度 c=1 とはしないでおきます。

まず、モノポールがあった場合の Maxwell 方程式を
あらわに書いておきます。
 ∇・E = (ρ_e)/ε
 ∇・B = μ(ρ_m)
 ∇×E = -(∂/∂t)B - μJm
 ∇×B = μ{Je + ε(∂/∂t)E}
というように、第2式右辺に磁荷、第3式右辺第2項に磁流が加わることになります。
あとで見にくくなるためアンダーバーは省略しましたが Je の e 、Jm の m は添え字です。

一方、
 □ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z,1/(ic)∂/∂t)
 Je = (Je_x,Je_y,Je_z,icρ_e)
 Jm = (Jm_x,Jm_y,Jm_z,icρ_m)
 F_(μν):電磁場テンソル
 ε_(αβμν):反対称テンソル
などとしてモノポールがない場合の Maxwell 方程式を共変形で書くと、
 (□_ν)F_(μν) = μ(Je_μ)
 (1/2)ε_(αβμν)(□_β)F_(μν) = 0
です。(透磁率μと添え字μがダブってしまいました。)

ここで、共変形の第1式において
μ= 1,2,3 が ∇×B の式、μ= 4 が ∇・E の式を意味するので第1式は変更はありません。
第2式の変更点は結論だけ書けば、
 (1/2)ε_(αβμν)(□_β)F_(μν) = (iμ/c)(Jm_α)
のように右辺に4元磁流の項が出てくることになります。
この式において、α= 1,2,3 が ∇×E の式、α= 4 が ∇・B の式を表します。


次に、ベクトルポテンシャルです。
通常の(モノポールのない)電磁気の場合、
 E = -∇Φ - (∂/∂t)A
 B = ∇×A
のように書けます。
以下では、磁荷などによるポテンシャルと区別するため
 Ae = (Ae_x,Ae_y,Ae_z,(i/c)Φe)
 Am = (Am_x,Am_y,Am_z,(i/c)Φm)
と添え字をつけます。

ここで、∇・∇×A は恒等的に0ですから
 B = ∇×(Ae)
のままではモノポールが存在する場合の Maxwell 方程式を満たしません。
どのように変更するかは電場の式を参考にすれば容易にわかります。
例えば、静電ポテンシャル Φe の勾配 ∇(Φe) が電場を生み出すのと同様に
磁場の式にも静磁ポテンシャル Φm の勾配 ∇(Φm) があるはずです。
こちらも結果を示すと、
 E = -∇×(Am) -∇(Φe) - (∂/∂t)Ae
 B = ∇×(Ae) -(1/c^2)∇(Φm) - (1/c^2)(∂/∂t)Am
のようにモノポールが存在した方が対称的になります。

また、今は Lorentz gauge
 ∇・(Ae) + (1/c^2)(∂/∂t)Φe = 0
 ∇・(Am) + (1/c^2)(∂/∂t)Φm = 0
 (共変形では (□_μ)A_μ = 0 )
を採用して、先ほどの E, B の式を Maxwell 方程式に代入すると、
ポテンシャルが満足する波動方程式として
 (∇^2)Φe - (1/c^2)(∂^2/∂t^2)Φe = -(ρ_e)/ε
 (∇^2)Ae - (1/c^2)(∂^2/∂t^2)Ae = -μJe
 (∇^2)Φm - (1/c^2)(∂^2/∂t^2)Φm = -(ρ_m)/ε
 (∇^2)Am - (1/c^2)(∂^2/∂t^2)Am = -μJm
が得られます。
共変形では
 (□^2)Ae_μ = -μ(Je_μ)
 (□^2)Am_μ = -μ(Jm_μ)
です。

さらに、このとき電磁場テンソル F_(μν) は
 F_(μν) = (□_μ)Ae_ν - (□_ν)Ae_μ + (i/c)ε_(αβμν)(□_α)Am_β
のように通常の電磁気と異なり第3項が表れます。


数式中に間違いがあれば適当に正してください。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

なるほど!確かに 
E = -∇Φ - (∂/∂t)A
にも修正項がつくと考えればOKですね。
これは思いつきませんでした。
ありがとうございました。

お礼日時:2002/06/20 01:20

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内球と無限遠は導線で結ばれていますから電荷は自由に行き来できるので,
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          │
      ┌───┴───┐
      │       │
      │       │
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   内球─┬─     ─┬─無限遠
      │       │
      │       │
      └───┬───┘
          │

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(2)Q' を求める
  外球の外側にある半径 r ( c < r ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内外の球の電荷の総和で、その値は
  -Q'(内側の球の表面電荷) + Q'(外側の球の裏面電荷) + Q - Q'(外側の球の表面電荷) = Q - Q'
  半径 r の球面上の電界を E1(r) とすれば、Gaussの定理より、4*π*r*E1(r) =( Q - Q')/ε → E1(r) = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*r^2 ) ---[1]
  半径 r の球面上の電位を V1(r) とすれば、V1(r) = ∫[r~∞] E1(r) dr = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*r )
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  半径 r の球面上の電界を E2(r) とすれば、Gaussの定理より、4*π*r*E2(r) = - Q'/ε → E2(r) = -Q'/(4*π*ε*r^2) --- [2]
  半径 r の球面上の電位を V2(r) とすれば、V1 - V2(r) =∫[r~b] E2(r) dr = -Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/r ) 。
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(3)電界分布
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(2)外側球殻と内側球殻の電位差Vを求めよ。
(3)このコンデンサーの電気容量を求めよ。

という問題が解けません。
特に、同心球殻状の導体から作られるコンデンサーの考え方がわかりません。
どなたか解いていただけませんか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

基本的な考え方だけ説明します。
「球面上に一様に分布した電荷qは、球内に電場を作らず、球外では
動径方向を向く電場E(r)=q/(4πεr^2)をつくる」(ε:真空の誘電率)

内球に電荷q1が分布するとき、
0<r<aでE1(r)=0,a<rでE1(r)=(1/4πε)(q1/r^2)
外球に電荷q2が分布するとき、
0<r<bでE2(r)=0、b<rでE2(r)=(1/4πε)(q2/r^2)
実際の電場は、E(r)=E1(r)+E2(r)

電荷は、内球の外面にq1,外球の内面に-q1,外球の外面にq2分布する。

電位は、
φb=∫[0→∞] E(r)dr=(1/4πε)(q1+q2)/b
φa=φb+∫[a→b] E(r)dr=φb+(q1/4πε)(1/a-1/b)

q1=-Q,q2=+Qより、電位差は、
V=φa-φb=(Q/4πε)(1/a-1/b)だから、
C=Q/V=(Q/4πε)/(1/a-1/b)

Q角運動量LzとハミルトニアンHの交換関係

Lz=xpy-ypx
H=-h(エイチバー)/2m (∂^2/∂x^2+(∂^2/∂y^2) +V(r)
で、Lzとハミルトニアン演算子Hは交換できるようなのですが、どのように計算すれば
[Lz,H]=0となるのでしょうか?わかる方がいたら教えてください!!

Aベストアンサー

φを付け加えてみましょう。

LzV(r)/(-ih~)・φ = (x∂/∂y - y∂/∂x)V(r)φ
= x∂{V(r)φ}/∂y - y∂{V(r)φ}/∂x
= x {∂V(r)/∂y・φ + V(r)∂φ/∂y} - y {∂V(r)/∂x・φ + V(r)∂φ/∂x}
= [ x dV/dr・∂r/∂y + xV∂/∂y - y dV/dr・∂r/∂x - yV∂/∂x ]φ

となりますね? 演算子は後にあるもの一切にかかるということを意識してください。


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