(sinX)^n の積分はどうしたらいいのですか?
教えてください.

A 回答 (3件)

∫sin^n X dX



=∫[sinX・sin^(n-1)X ] dX

=∫[(-cosX)'・(sinX)^(n-1) ] dx

=-cosX・sin^(n-1)X-∫(-cosX)・(n-1)・sin^(n-2)X・cosX dX

=-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・∫sin^(n-2)X・cos^2 X dX

=-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・∫sin^(n-2)X・(1-sin^2 X) dX

=-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・[∫sin^(n-2)X dX-∫sin^(n-2)X・sin^2 X dX]

=-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・[∫sin^(n-2)X dX-∫sin^n X dX]

よって n∫sin^n X dX=-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・∫sin^(n-2)X dX より ∫sin^n X dX=1/n・[-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・∫sin^(n-2)X dX ] となります。

部分積分を使い漸化式の形にします。
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......。


J[0]=integral dx = x
J[1]=integral sin x dx = -cos x
です。
J[n] = -(1/n)((sin x)^(n-1))(cos x) + ((n-1)/n)J[n-2]
をxで微分してみれば、(sin x)^n になるのが確かめられます。
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J[n] = integral (sin x)^n dx


とおくと、
J[n] = -(1/n)((sin x)^(n-1))(cos x) + ((n-1)/n)J[n-2] (n≠0)
です。
n<0の場合はこの漸化式を逆向けに使います。
J[0],J[1]はわかりますよね。
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