有界であることの証明

数列{An},{Bn}が収束するとき
Cn=An(nは偶数),Bn(nは奇数)
として数列{Cn}が有界であることを証明せよ。
という問題がわかりません。ε-δ論法を使うのでしょうか？
教えてください。お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/04/30 17:47

AnとBnが有界なんだから，

AnとBnが交互にでてくるCnが非有界になるのがおかしい
というのが感覚的にわかりませんか？

答えは，|An|<M'，|Bn|<M'' となる M'(>0)，M''(>0)があるから
MをM'，M''の「小さくない方」とすれば
|Cn|<M
よって，Cnは有界．
なぜ，AnとBnが有界かといえば
収束するから．
これは大抵の教科書にはでてるだろう定理ですが，
証明は収束の定義を用いればすぐにできます．
こんな感じ
Anがaに収束するならば，
任意の正数εにたいして，ある自然数Nが存在し，
n>N ならば |An-A| < ε
したがって，
|A1|, |A2|,...,|AN|，|A-ε|，|A+ε|のうち，最大のものを M とすれば
任意のnに対して|An|<M
したがって，有界

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2007/05/31 20:42