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インダクタンスの自己インダクタンス,相互インダクタンスに関する質問です。

インダクタンスの直列接続において、以下の式はよく語られています。
L = L1 + L2 ± 2M
(記号の意味はこの分野の方ならわかると思うので割愛します)
この関係から
L ∝ N^2
という関係も連想できたのですが

では、相互関係のあるインダクタンスの並列接続についてはどのような関係が成り立つのか?
ということを考えたのですが、いまいち確証が得られない考察になりました。
それは以下のような式です。
L = (L1+M)*(L2+M) / (L1+L2+2M)

この式はなんとなくエネルギー保存則に反しているような気がするのですが、果たして正しい考察といえるでしょうか?

A 回答 (4件)

相互インダクタンス(±M)を持つインダクタンスL1、L2を並列に接続した時個々のL1,L2に流れ込む電流をi1,i2とおく。

この結合をもつL1とL2の並列回路を1つの等価な合成インダクタンスLで表し、Lに流入する電流iは
同じ電圧源vに接続するとき
v=Ldi/dt…(A)
i=i1+i2…(B)
これを微分
di/dt=d(i1)/dt+d(i2)/dt…(B')

一方
v1=L1d(i1)/dt± Md(i2)/dt…(C)
v2=L2d(i2)/dt±Md(i1)/dt…(D)
並列接続では
v=v1=v2…(E)
(C),(D)に(E)の関係からv1,v2をvで置き換えた
v=L1d(i1)/dt± Md(i2)/dt…(C')
v=L2d(i2)/dt±Md(i1)/dt…(D')
(符号同順)
を「d(i1)/dt」と「d(i2)/dt」を未知数と考えて連立方程式として解けば
d(i1)/dt=((1))v …(E)
d(i2)/dt=((2))v …(F)
(E),(F)を(B')に代入すれば
di/dt=v/L=((1)+(2))v
となります。
この式から
L=1/((1)+(2))=(L1+L2-M^2)/(L1+L2±2M)
が出てきます。

(1)、(2)は計算してみて下さい。
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この回答へのお礼

丁寧な説明ありがとうございます。
完璧に納得しました。

お礼日時:2007/05/01 22:10

計算手順は#3さん回答にあるとおり。



(個人的には、
・最初にdi1/dt, di2/dtをv1,v2で表しておいて、それからv=v1=v2を代入し、di/dt=di1/dt+di2/dtを求める手順が好き
・Mの極性はMの値の正負で表す(L+Mの形の表記を使う)のが好き
ですが。)
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この回答へのお礼

すばやい回答ありがとうございました。
手間を鑑みてinfo22を良回答させていただきました。ご容赦ください。

お礼日時:2007/05/01 22:08

#1さん考え方で良いと思います。


ただし相互インダクタンスMには結合の極性がありますのでMに±の値をもつと考えればA#1の式で良いです。Mは大きさだけ(正の値)を意味するのだとすれば、A#1の式や結果のLの式Mの前に±をつけた方が良いと思います。

この回答への補足

補足説明ありがとうございます。

ANo.1さんにもお願いした手前恐縮ですが、この式の導出方法を教えて頂けないでしょうか?

di/dt = di1/dt + di2/dt

のところの扱い方がいまいちわかりませんでした。

補足日時:2007/05/01 15:27
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v1 = L1 di1/dt + M di2/dt


v2 = M di1/dt + L2 di2/dt
で並列接続から v1=v2=v,i= i1+i2 の関係をいれて計算すると
v=(L1 L2-M^2)/(L1+L2-2M) di/dt
したがって,合成のインダクタンスは(L1 L2-M^2)/(L1+L2-2M)
となるようです.

この回答への補足

回答ありがとうございます。
手間でなければ、式の導出過程をご教授お願いできますでしょうか?

当方の数学力ではうまくもっていけませんでした。

補足日時:2007/05/01 09:35
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Aベストアンサー

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>並列の場合は定電圧電源をつかい、直列の場合は時間的に電流が変化する電源をつかっています

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【並列の場合】
2つのコイルの両端の電圧は同じなので、「電圧」の式を使って

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という式が立てられます。L1とL2は合成前のコイルのインダクタンス、i1 と i2 はそれぞれのコイルに流れる電流です。したがって、並列接続された2つのコイルをまとめて1つのコイル L と考えれば、このコイルの電圧は同じ V ですが、電流は 2つのコイルに流れる電流の和なので i1 + i2 です。つまり

V = L*d( i1 + i2 )/dt = L*( di1/dt + di2/dt ) --- (2)

となりますが。式 (1) から、 di1/dt = V/L1、di2/dt = V/L2 なので、式(2)は

V = L*d( i1 + i2 )/dt = L*( di1/dt + di2/dt ) = L*( V/L1 + V/L2)

V で割って V を消せば、1 = L/( 1/L1 + 1/L2 ) → 1/L = 1/L1 + 1/L2
これが並列接続したコイルの合成インダクタンスです。

【直列の場合】
2つのコイルを流れる電流は同じなので、「電流」の式を使って

i =1/L1*∫V1 dt =1/L2*∫V2 dt --- (3)

という式が立てられます。L1とL2は合成前のコイルのインダクタンス、V1 と V2 はそれぞれのコイル両端の電圧です。したがって、直列接続された2つのコイルをまとめて1つのコイル L と考えれば、このコイルに流れる電流は同じ i ですが、電圧は 2つのコイルの和なので V1 + V2 です。つまり

i =1/L*∫V dt = 1/L*∫( V1+V2 ) --- (4)

となります。式 (3)を時間 t で微分して変形すれば、V1 = L1*di/dt、V2 = L2*di/dt なので、式(4)は
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これが直列接続したコイルの合成インダクタンスです。

「e=-L・di/dt」の マイナス符号は間違いでは?

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>並列の場合は定電圧電源をつかい、直列の場合は時間的に電流が変化する電源をつかっています

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Q相互誘導回路でコイルの向きを表す点について

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Aベストアンサー

こんにちは。

学校の場合だと、こうした疑問(自分なりに教科書を見たらこうだと思って
いたけど、問題集を見たら違うけど判りません)の場合、問題ではなく定義
見たいなものだし、先生は自分で調べてみろは無いんじゃない?って感じが
しますね(^^;

> 『電流の入出力の方向に対して同じ位置に『・』が付いていれば,相互イン
> ダクタンスは+M,逆の位置に『・』が付いていれば,相互インダクタンスは
> -Mとするように決める.』とは全く逆のことを言っているという事ですよね?

この「点」は電流の向きに対して出来る磁力線が加算されるか、相殺されるかを
示すために打たれているのは判りますよね?

その場合に、仮に電流の入出力が同じ方向であっても、コイルの巻き方が逆
ならば磁力線の方向は反対になってしまいますよね?
逆に、電流が違う方向からでもコイルの巻く方向によって結果は両方取り得ま
すよね?

このように、回路を書いた場合にコイルの巻き方まで正確に(大きく見間違い
の無いように)書くのは難しいので、この点はあくまで磁力線の向きを表して
いるだけです。

ですから、点の位置によって+か-が決まっているのですが、問題の回路に
よって・・代表的なところでは、このご質問の回路の問題と、トランス型の
1次2次側の問題では等価回路が違ってきます。

手元の電験の解説書によると、トランス型で一次二次側とも同方向から電流
が流れ込む場合、その電流の向きを正、そして点が電流の入力側にあった場合

V1=jωL1 I1 + jωM I2
V2=jωM I1 + jωL2 I2

として、これを基本式として問題を当てはめて解くのが良いと書いてあります。
通常、このままでは2連立方程式となるので、簡単に解くために等価回路に
変換します。

そうすると、トランス型は

  -------L1-M--------L2-M---------
               |
               |
                M
               |
  ---------------------------------

になります。


この質問の問題の場合、基本式に当てはめると、点が+-を決めた前提と逆なので
Mは-になり

E= jω(L/2)I1-jωMI2+RI1
E= jωLI2-jωMI1

となります。
いま、点が共に電流が流入する方向に打たれていたならば

E= jω(L/2)I1 + jωMI2+RI1
E= jωLI2 + jωMI1

ですし、
Lだけの側の点が電流の流入する方向に打たれていたならば

E= jω(L/2)I1 + jωMI2+RI1
E= jωLI2-jωMI1


基本形の等価回路は

  -------M-----------L2-M---------
             |        |
             |        |
             L1-M       R
             |        |
  ---------------------------------

となります。

こんにちは。

学校の場合だと、こうした疑問(自分なりに教科書を見たらこうだと思って
いたけど、問題集を見たら違うけど判りません)の場合、問題ではなく定義
見たいなものだし、先生は自分で調べてみろは無いんじゃない?って感じが
しますね(^^;

> 『電流の入出力の方向に対して同じ位置に『・』が付いていれば,相互イン
> ダクタンスは+M,逆の位置に『・』が付いていれば,相互インダクタンスは
> -Mとするように決める.』とは全く逆のことを言っているという事ですよね?

この「点」は電...続きを読む

Q電子回路の発振条件について

正帰還回路で入力電圧をv1,増幅器Aへの入力電圧をvi,出力電圧をv2としたとき,
v2=Avi
vi=v1+Hv2
であり,ループ利得AH,回路全体の利得は
G=v2/v1=A/(1-AH)
ですが,
AH>1の場合,発振するというのは違う見方だと完全ではないもののなんとなく分かるような気がするんです.

でも,負帰還回路の場合,
G=A/(1+AH)
AH≫1とすれば
G≒1/H
となりますが,
発振回路も
AH≫1とすると,
G=-1/H
で利得は定数になってしまうので,
発振してしかも出力v2の振幅がしだいに
増大するというのが納得しかねます.
viがループ後AHviになってそれがまた,
増幅器Aに入るから増大した電圧がまた増大して
と考えれば納得できるような気がするんですが,
いまいちしっくり来ません.

この発振回路の原理についてかなり詳しい説明をして欲しいです.

また,発振条件は
 Im(AH)=0,Re(AH)≧1
のようですが,
Re(AH)≧1はまだしも
Im(AH):位相に関係する??が0というのは何故ですか??
電子回路に詳しい方よろしくお願いします!

正帰還回路で入力電圧をv1,増幅器Aへの入力電圧をvi,出力電圧をv2としたとき,
v2=Avi
vi=v1+Hv2
であり,ループ利得AH,回路全体の利得は
G=v2/v1=A/(1-AH)
ですが,
AH>1の場合,発振するというのは違う見方だと完全ではないもののなんとなく分かるような気がするんです.

でも,負帰還回路の場合,
G=A/(1+AH)
AH≫1とすれば
G≒1/H
となりますが,
発振回路も
AH≫1とすると,
G=-1/H
で利得は定数になってしまうので,
発振してしかも出力v2の振幅がしだいに
増大するというのが納得しかねま...続きを読む

Aベストアンサー

>> でも,V1の位相角0,Im(AH)=0:位相角0,のとき
>> Viの位相角がπ/4だとすると,
>> V1とAHViの位相差はπ/4で0にならないと思う

Im(AH)=0すなわち位相を廻す能力が無いので、入力からV1(位相角0)を入れる限りではViの位相角がπ/4になる状態は存在しない。仮にV1が過去π/4位相であったのを0に急変させれば(過渡的に)実現できるが、V1とAHViのベクトル加算ViはV1に近寄るのでやがてV1と同位相に帰す。 身近な実例は安価なTV受像器の偏向系;CR発振回路に放送局からの同期信号を注入している。


>> その辺が確実に理解できていないので


正帰還回路の基本式は
  V2/V1=A/(1-AH) である。
上式からV2は
  V2=V1A/(1-AH) である。
帰還ノードに戻る信号はV2が帰還路Hを通ったものゆえ
  HV2=V1AH/(1-AH) である。
当たり前のことだが上式のAH/(1-AH)は複素数である。複素数は絶対値と偏角で表すことができるので、AH/(1-AH)を絶対値がmで偏角がθだとする。そうすれば上式は
  HV2=V1がm倍になり位相がθずれたもの
と書けて分かりやすい。
そして帰還ノードでV1と上式が加算されてViとなる。とうぜん交流ゆえベクトル加算である。

    HV2 長さはV1のm倍で位相がθずれてる
  /
/θ
 ̄ ̄ V1 長さを1とする。

  (Vi の長さ)^2 =(1+mcosθ)^2+(msinθ)^2
           =1+m+2mcosθ
である。
Viが最大になるθはθ=0,2π,4π…のときである。
ViがA倍されたのがV2であるから、出力が最大と言ってもよい。
そうなる周波数をfoと記す。

発振状態とは外部入力が無いV1=0でループ内に振動波形が存在している状態である。ループを一巡(イチジュン)した利得|AH|<1なら周回と共に振幅が漸減するから|AH|≧1が必要条件であることは理解済みと思う。(*2)

 思考実験;
入力V1に種々の周波数を混ぜた信号を入れる。信号はループ内をグルグル回りつつ入力V1と加算される。考えやすいように|AH|=1とする。周波数foの成分は一巡後の位相差が0なので常に代数的加算になって直線的に増加してゆく。fo以外の成分は位相差が積み重なってゆくのでベクトル的な加算になったり減算になったりでfoのようには成長しない。
 すなわち、入力信号V1の中からfoの成分を選択的に増幅する回路である。一種のフィルタである。発振回路とはfo成分だけを育てあげる回路なのである。育てる元の種は電源投入時の電圧の動きだったり熱雑音だったりデジタル回路なら初期設定値である。
以上。


(*1)
複素数の偏角θ=0,2π…なら複素数の虚部は0である。AH=x+iyと書いて複素数AH/(1-AH)に代入し虚部=0と置けば、y=0すなわちIm(AH)=0を得る。これはV1から始めて順に追った考え方である。
一方、V1を考えない場合はIm(AH)=0がどこから来るのか;それは一巡のθ=0,2π,…になる周波数以外はループ上に定常的に存在できないことからである。それはそれで理解する努力が必要である。その理解は振動や音波電波の定在波や原子の軌道電子の理解に役立つ。

(*2)
一巡ごとに一定の割合が掛かる複利計算であり結果は指数関数となる。
|AH|<1ならexp(-t)で消滅、|AH|>1ならexp(+t)で成長する。
|AH|>1とRe(AH)>1は違うのか同じなのか;虚部=0の場合しか定常的に存在できないゆえ前者が後者になる。

付記1;
負帰還回路の場合;ベクトルの減算は180度反転すれば加算になるので「θ=0になる周波数」を「θ=πになる周波数」と読み替えるだけでよい。すなわち、負帰還回路でも一巡伝達関数AHの位相が180度回った所のゲインが>1なら発振回路になるのである。
付記2;
複素数AH/(1-AH)の大きさmも周波数で変化するのでは?との疑問に答えておく。
実際の回路では、foの近傍で大差なし(CR発振回路)とかfoの所でmも最大(LC、水晶、セラミック発振回路)である。


追加の質問があれば要求を。その際デジタル回路(ゲートやFF)が分かるかを教えてください。

>> でも,V1の位相角0,Im(AH)=0:位相角0,のとき
>> Viの位相角がπ/4だとすると,
>> V1とAHViの位相差はπ/4で0にならないと思う

Im(AH)=0すなわち位相を廻す能力が無いので、入力からV1(位相角0)を入れる限りではViの位相角がπ/4になる状態は存在しない。仮にV1が過去π/4位相であったのを0に急変させれば(過渡的に)実現できるが、V1とAHViのベクトル加算ViはV1に近寄るのでやがてV1と同位相に帰す。 身近な実例は安価なTV受像器の偏向系;CR発振回路に放送局からの同期信号を注入している。


>> ...続きを読む

Q図の交流ブリッジ回路が平衡した状態において、この抵抗:R2〔Ω〕およびコンデンサ:C〔F〕の値は?

またしても三種の問題で、四苦八苦しています。
アドバイスをいただけませんか?

問いは
図の交流ブリッジ回路においてR2〔Ω〕およびC〔F〕の値が未知数であり、他は全て既知数である。
このブリッジが平衡した状態において、次の問(a)、および問(b)に答えなさい。
問(a)図中のR2〔Ω〕の値を求めなさい。
問(b)図中のC〔F〕の値を求めなさい。
ここで、回答はブリッジの平衡条件式を書き、かつ、その展開過程も説明しなさい。
という問題です。

「ブリッジ平衡条件により・・・」と言った短絡的な回答ができないため、行きづまっています。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ブリッジの4辺をZ1,Z2,Z3,Z4で表すと、
Dの両端が同電位
-> Z1/(Z1+Z3)=Z2/(Z2+Z4)
->Z1(Z2+Z4)=Z2(Z1+Z3)
->Z1Z1=Z2Z3 ..これが「平衡条件」になるかと思います。

あとは、Z1=R1, Z2=1/(1/R2+jwC),Z3=R3+jwL,Z4=R4を代入、整理すれば、
計算できるかと思います。


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