幾何学での「定性的」と「定量的」ってどういうこと?
なにか具体的な例を挙げて説明して頂けないでしょうか。
できるだけはっきりと違いが分かるようにしてほしいです。

A 回答 (2件)

幾何学の定量性については、学校でも習うし、takttaさんの出していらっしゃる例が分かりやすいですね。

一方、定性的、と言える幾何学の代表選手は、「位相幾何学(トポロジー)」です。
 例えば、幾らでも引っ張って延ばせる、柔らかいゴムでできた物体。好きな形に変形できるけど、切ったり繋いだり穴を開けることはだめ。こういう物体の形を分類します。ドーナッツとマグカップは、どっちも穴が一つだけあるから、「同じ形」ということになります。3次元だと、どんな形でも「球に(マグカップの取っ手のような)ハンドルをN個くっつけたもの」のどれかと「同じ形」に分類されます。
 あるいは、結び目。結び目を作ったひもの両端を繋いだものを考えます。これをどういじくってもいい。そういう二つのひもがあるとき、一方をいじくってもう一方と同じ形にできるか? いじくっても変わらない性質は何か。
 もっと身近な問題を幾つか挙げますと:
●ドーナツ型のゴムの浮き輪(タイヤのチューブ。中空ですね)に一箇所だけ小さい穴が空いています。この浮き輪を裏返すことができるか?(できます)
●ズボンをはいたまま、ロープで両方の足首を縛って足首同士を繋いでしまいます。この状態で、ズボンを裏返してはくことができるか。(やってみましょう)
●一筆書きが出来る図形と、出来ない図形。何が違うか。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
ドーナツってことはつまりト-ラスのことですよね。
意外と身近なところに定性的や定量的な事象ってあるものなのですね。

お礼日時:2001/01/19 12:25

定量的とは例えば三角形の面積を出すのに底辺かける高さ÷2という公式で具体的に数値で出せますね。


定性的とは、三角形で1つの三角形を書き底辺に平行な線を頂点から引き、その底辺とある点をとってどんな3角形をつくっても高さが等しいことになるから面積が等しいものがいくつもできます。
その場合、面積や形にとらわれない性質といってもよいといえます。これが定性ということです。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
とてもシンプルで分かりやすかったです。
思っていたよりも理解しやすい理論だったんですね。

お礼日時:2001/01/19 12:29

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後半について。僕も初心者ですが。

まず、何かの数学的命題が「独立」という為には、言語と公理系を決めねばなりません。

どういう言語上で、どういう公理から独立なのか、ということです。

言語は普通は一階述語論理ですよね。(これには異論があるかも知れません。二階算術の公理系に対しても、独立命題が見つかっているようです。下のURL参考)

公理は、いろいろありますが、有名なのはZFC(集合論の公理系)とPA(算術の公理系。ペアノの公理系)ですよね。

ZFC上独立な命題は、巨大基数公理たちなど沢山あるでしょうが、有名なのは#1の方の仰るように、連続体仮説ですね。(コーエンの仕事)

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ZFCというのはZF(ツェルメロ・フレンケルの公理系)に、AC(Axiom of Choice 選択公理)を付け加えたものですが、ZF上ACは独立であることが、ゲーデルによって証明されています。

僕の知っているのはこんなところです。

参考URL:http://members.at.infoseek.co.jp/nbz/ref/hprogram.html

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