こんにちは。
今日、学校の課題で「小学生に教える微分積分」と
「中学生に教える微分積分」というものが出されたのですが、
どのように教えればいいのかよくわかりません。
私自身が微分積分を習ったことがないのもあって、
自分がわからない状態です。(^^;
小学生には公式等は使ってはいけなくて、中学生には
使ってもよいそうです。
私は、小学生には鶴亀算なんかが良いのかなぁと
思っていますがどうでしょうか?
ちなみに、それぞれ小・中学校の過程を修了した者が
対象です。なにかいい例えがあったら教えていただきたいです。
よろしくおねがいします。

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A 回答 (10件)

速さと道のり(進んだ距離)の関係は、直感的に一番分かりやすく、また微分と積分が逆演算であることがよく分かります。



小学生向け:
 横軸=時刻、縦軸=速さのグラフを積分して、進んだ距離のグラフを描く、という問題から入ると良さそうですね。三角形や台形の面積の求め方を使います。
 微分法の方は、横軸=時刻、縦軸=進んだ距離のグラフから、速さのグラフを描く。(行って戻ってくる、というグラフでは、進む向きの違いが負速さとして現れます。)

中学生:
導入は小学生と同じで良いと思います。積分はグラフの面積。計算としての微分法は、なにしろ最低でも二次関数を相手にしないと全然面白くない。値打ちもわからない。高次の多項式が分かっていないと話が進まないから困ります。
 長さ100mの輪になったロープで、長方形の土地を囲む。なるべく広い面積を囲むには?という「極値問題」(「XXを最大(最小)にせよ」という問題)を早期にやる事は、微分法の意義を理解させる上で重要と思います。

 stomachman自身が微積分の自習を始めたきっかけは、「なぜ、円錐の体積は(同じ底面積・同じ高さの)円柱の体積の1/3なのか?」という疑問からでした。なぜ丁度1/3? 1/3がどこから来たのか?不思議で仕方がない。
 (当時OKwebはなかったので)家にあった百科事典で調べたら、運良く「区分求積法」に行き当たりました。円錐を水平に薄切りにする。一つ一つは円盤です。この円盤の体積を求めて総和する。(無限に薄く切れば、無限に多くの円盤が出来るわけで、旨く工夫しないと総和が計算できません。)これはなかなか良い導入だった。そのパワー、つまり普通では計算できないものが解ける!が実感できたからです。
 (実は幾何学的に1/3を出す方法もあったんですが、ま、それは置いといて。)

鶴亀算はあんまり関係ないなあ。
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この回答へのお礼

私もいろいろ本を読んでいて、速さと道のりは
わかりやすかったです。
細かく考えていただいてありがとうございました。
参考にさせていただきながら、ちょこちょこやってみようと
思います。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2001/01/28 20:56

 う~ん


 学校では教員を専攻してらっしゃるのでしょうか?
 その課題を与えら先生は「それぞれの人に同じ事を説明できるようになりなさい」ということですよね。
 (大学ではなく高校かな?それなら習ってなくても・・・(自分は高校でも建築科だったが微分、積分、さわりだけ授業やってました))
 小学1年生と6年生でも教え方ってかなり違うと思うし、中学生でも二次関数完璧な人と、因数分解苦手な人に教えるのには違うアプローチの方が良いと思うし・・
 う~~ん、課題の意図がわからなくなってきちゃった・・・
 物事を教えるにはその知識以外が80%占めるからね~
(幼稚園とかの保母さんに聞いた話では足し算教えるのに
 「イチゴがいくつありますか?」でわかる子も居れば、
 「カブトムシは何匹いますか?」でわかる子もいると・・)
 すいません・・・
   何のKOTAERUにもなってませんでしたね
      m(__)m ゴメン
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この回答へのお礼

教職課程というわけではないのですが、なぜかこの課題を
出されてしまったのです。
高校で微分積分はやってないのでよくわからないのですけれど、
まだ少し時間がありますので研究してみようと思います。
わざわざありがとうございました。

お礼日時:2001/01/28 20:52

 補足です。

ドナルド・コーエン氏のHPが本で紹介されていたのを忘れていました。下のURLで行けます。(ただし、当然英語です)

 それから、同じくブルーバックスで、
 『マンガ微積分入門』
という本もありました。これも、例えば円の面積をトイレットペーパーで考えるとか、わかりやすくて面白いものでした。

 やりがいのある課題だと思います。がんばって。

参考URL:http//www.shout.net/~mathman/
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この回答へのお礼

わかりやすい本を教えていただいてありがとうございました。
なんとかがんばってみようと思います(^^;

お礼日時:2001/01/28 20:58

 たとえば…



速度…微分的の応用。Aさんがn地点からm地点まで歩きました。 歩く速さは一定ではないですし、途中でジュースを買って休むかも知れません。速度は単位時間あたりの距離ですが、瞬間瞬間で変化する値です。
 そして、そんな瞬間瞬間の積み重ねが、距離(積分の応用)になる。

面積…下でも書かれていましたが、積分の応用です。例えば、円をできるだけ細い弧に切って、四角形のカタチに当てはめていく。その結果、面の面積の求め方に近くなっていることを確かめる。

 というような、身近なものをつかうというのも一つの手かも知れません かね。
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この回答へのお礼

速度を使っての説明はわかりやすいですよね。
私も速度を使っての説明を読んでいてよくわかったので。
面積・・・の方はまだぼやけた感じなのでこれから勉強してみようと思います。
わざわざどうもありがとうございました。

お礼日時:2001/01/28 21:09

 講談社のブルーバックスシリーズで



 ドナルド・コーエン著 新井紀子訳
 『アメリカ流7歳からの微分積分』

という本があります。
 読みましたが、6歳とか7歳くらいからの子どもたちに興味の赴くままに問題を与え、「数列」や「微分・積分」につながる「発想」を共に考えていこう、というものでした。
 日本の小中学校の算数・数学教育にも、こういう面があったらいいのに、と感じました。
 もし、ご参考になれば。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
ただ、近くの図書館にはこの本はなかったので
参考にはできなかったのですが、もうひとつの「マンガ微積分入門」は
置いてあったので(なぜマンガが?/笑)
参考にさせていただきます。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2001/01/28 21:02

そもそも何を教えるのかがわかりません。


考え方?歴史?それとも具体的計算方法?(それは無理だろうな…)

考え方、というのであれば、
積分は、やはり面積が一番わかりやすいのでは?
台形公式を使ってグラフの面積を出すのは、小学校でも理解できます。
(一次直線なら完全に。適当な曲線でも考え方はわかるはずです。)

また、微分については他の方も書かれたようにグラフの傾きですね。
ただ、本当に「傾き」とやってしまうとよくわからないと思うので、
やはり台形公式を使うのがよいかと思います。
x=x0での傾きという話しをするのではなく、
x=x0とx=x1のときのそれぞれのyを結んだ傾きですね。

そうすると、微分と積分がちょうど互いに反対の考え方だということがよくわかりますよ。

何にしても、せめて台形公式くらいはご自分で納得されなければ、何ともなりません。がんばってください。
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この回答へのお礼

私も、具体的になにを説明したらいいのかよくわらないのですけど、(課題の題が小・中学生に教える微分積分だったので・・・。)
とりあえず自分が学んでみようと思います。
atsuotaさんのおっしゃる、台形公式から取り組んでみようと
思います。
わざわざありがとうございました。

お礼日時:2001/01/28 21:06

数学的帰納法の応用をしてみては?

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この回答へのお礼

数学的帰納法って微積に精通しているんですか?
考えてみたこともありませんでした・・・。
これからちょっと考えてみようと思います。
わざわざありがとうございました。

お礼日時:2001/01/28 21:13

あ、ご自分でもわからないのですか(苦笑)



ぶっちゃけていうなら微分はある座標点の傾き、
積分はある座標点からある座標点までの面積(うーん言い方が難しい)です。

どちらも1次曲線のみだったら方眼紙を使った解説でなんとかなるんじゃないかと。
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この回答へのお礼

そうなのです。自分がよくわかっていないので困ります。(^^;
まだちょっと時間があるので、何とか理解に努めてみようと
思います。どうもありがとうございました。

お礼日時:2001/01/28 21:15

なぜそういうことになったのかちょっと理解に苦しむのですが


積分はおいておいて微分に関してはわかりやすい座標点を取って1点づつ検証することによって
説明できないでしょうか?
ある座標点の傾きを方眼紙で説明するなど。
それ以前に小学校で2次曲線って教えましたっけ?
1次曲線のみだったらなんとかなりそうですが。
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この回答へのお礼

私・・・・・は小学校で2次曲線を教わったことはなかったと思います。
塾なんかに通っている子はどうなのかはわかりませんが(^^;
これからがんばってやっていこうと思います。
わざわざありがとうございました。

お礼日時:2001/01/28 21:18

> 小学生には鶴亀算なんかが良いのかなぁと



つるかめ算は連立方程式です、微積分ではありません。

> 私自身が微分積分を習ったことがないのもあって、
> 自分がわからない状態です。(^^;

こっちの解消の方が急務です。
自分の解らない事など教えられません。
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この回答へのお礼

仰るとおりです(^^;
これからちょっと、勉強を始めてみますね。

お礼日時:2001/01/28 21:20

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Q鶴亀算 2問

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(1) 仮に,20匹全部がニワトリだったとする。この場合には足の本数は40本となるはずである。
ここで,1匹をネコと交換すると,足の本数は(4-2=2なので)(2本増えて)42本となる。
《計算式》
56-40=16(全部がニワトリだったという考えと, ネコが混じっているため 実際の脚の本数の差)
16÷ 2=8(ネコの頭数)

同じようにして,
(2) 仮に,9枚の切手全部が52円だったとする。この場合には金額は(52×9=)468円となるはずである。
ここで,1枚の52円切手を82円のものと交換すると,金額は(82-52=)30円増えて 498円となる。

《計算式》
略します。自分で考えて式を作ってください。

Q微分積分の使い道について

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外はよく晴れて太陽が照りつけていると思ってくださいね。

もし部屋の気温が24度より低ければ、冷房をつければさらに寒くなってしまいますから冷房はつけなくていいですね。
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Q現実的鶴亀算

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#2さんがおっしゃるとおり、
x+y=s
tx+uy=v
(s,t,u,vは正の整数、解も正の整数)
という連立方程式になるように問題を作れば良いですよね。
ただ、
「1個80円のりんごと、1個90円のなしを合わせて10個箱に入れて、850円になるようにしたい。」
というと、確かに算数としては鶴亀算と全く同じなんですが、どうも雰囲気というか、遊び心というか・・・。いや、これは算数としての議論ではなくなるんで、突っ込まないでくださいね。
それに、
「鶴と亀って頭も足も区別できるじゃないか」
と昔の子供(苦笑)は思ったんだけど、今時の子供ならば、
「なんで、安いお茶と高いお茶を混ぜて売るの?それってちゃんと表示して売るんだよねー」
とか、
「りんごとなしをなぜ組み合わせて売るの?それって、抱き合わせ販売なんじゃないの?」
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で、どうせ現実的じゃないなら、思いっきり非現実的にしてしまって、一見して「これは現実じゃないんだ」という問題にしちゃうのも手かなーと思いました。

例えば、ある島に2種類の怪獣がいた。恐竜でもいい。
それらは、頭を見ても区別できないが、一方は足が3本、もう一方は4本とか。
そいつらがおしくらまんじゅうをしている。(してなくてもいいけど、一頭一頭の足の数を確認しながら数を数えるのが難しい状況を作りたかっただけ。)
頭の数を数えたら・・・、足の数を数えたら・・・。

こういう問題を、四面四角に考える必要もないでしょうから。
失礼しました。

#2さんがおっしゃるとおり、
x+y=s
tx+uy=v
(s,t,u,vは正の整数、解も正の整数)
という連立方程式になるように問題を作れば良いですよね。
ただ、
「1個80円のりんごと、1個90円のなしを合わせて10個箱に入れて、850円になるようにしたい。」
というと、確かに算数としては鶴亀算と全く同じなんですが、どうも雰囲気というか、遊び心というか・・・。いや、これは算数としての議論ではなくなるんで、突っ込まないでくださいね。
それに、
「鶴と亀って頭も足も区別で...続きを読む

Q微分積分を使った物理

物理で微分積分を使う人は数学が得意な人とか聞きますが、「数学は全体的には普通だけど微積得意」という人はどうなのでしょうか。

微分積分は個人的には概念的にもかなり好きで、入試でも超頻出なので、これからもかなり対策していきます。

物理はそこまで得意ではありません。普通です。そういう人に向くのでしょうか。

Aベストアンサー

高校の物理は公式を覚えているかっていうのがけっこう影響します。
微積を勉強すると簡単な公式は自分で求められるようになるのでど忘れしたときに役に立ちます。
物理で微分積分…っていうのは数学が得意というよりも計算力があるかないかの差だと思います。
微分積分が得意なら計算力はけっこうあると思うんで物理の公式を微積を使って求めてみるといろいろ分かることがあると思います。

Q鶴亀算

(1)歩くときの速さが分速70m、走るときの速さが分速300mの人が、ちょうど15分で3350m離れた目的地までいくためには、何分間走らなければならないか。

15分ずっと歩いたならば70×15=1050(m)
しか進めない。目的地まで、まだ3350 - 1050=2300(m)
残っている。1分間走る時間を増やせば300 - 70=230(m)
目的地に近づく。2300m近づけばよいのだから2300÷230=10(分)
(2)3kmはなれたところに 初めは時速4キロ 途中から 時速6km 35分で到着した 歩いた距離は何キロか?。

鶴亀算でできないでしょうか?。

Aベストアンサー

(2)3kmはなれたところに、初めは時速4km「で歩き」、途中から 時速6km「で走っていったところ合計」35分で到着した。歩いた距離は何キロか?。

という意味でしょうか?

この前提で回答します。

時速6kmで35分走るとすると、進む距離は
6000÷60×35=3500m

目的地よりも
3500-3000=500m
遠くまで行っている。

時速4kmと時速6kmでは、1分間に進む距離は
2000÷60=33.33m
違うので、

500÷33.33=15

時速4kmで15分歩けばよいことになるので、歩いた距離は
4000÷60×15=1000m = 1km

Q微分積分を学ぶにあたっての基礎知識

微分積分をとある事情により独学で学ぶことになってしまいました。
そこで、「石村園子 著  やさしく学べる微分積分」という本を買って学習し始めたのですが
圧倒的に基礎知識が足りないことが分かりました。 (グラフ、三角関数、平方完成等々…)
ですので、そこから学び直したいと思ったのですが、微分積分を学ぶにあたって、具体的に必要な基礎知識は一体何でしょうか?
また、それに関する良い参考書等がありましたら是非とも教えていただきたいです。

ちなみに…
私は、高校が工業高校でしっかりと数学というものをやっておらず、大学も推薦のため、受験勉強をしていません。
そして大学は数学とは全く無縁の学科に入学したため、私の数学に関する知識はかなり低いです。

Aベストアンサー

こんにちは。

私も必要になってから数学を勉強しなおしたクチです。

ちょっと値は張りますが、私は
http://www2.smsi.co.jp/jtex-app/products/detail.php?product_id=271
で一から勉強し直しました。

ほぼ、小学生レベルから大学初年度クラスまで網羅できている内容だと思います。
普通の本屋で売っている工学系の専門書を理解する程度であれば
十分通用すると思います。

ご参考まで。

Q鶴亀算

1問できると10点もらえ、まちがえると逆に5点ひかれるというクイズがある。このクイズ50問に答えて、得点が305点となった。何題正解したか。

Aベストアンサー

全問正解すれば500点のはず。しかし得点はそれより195点少ない。
正解と不正解だと15点違うから、195÷15=13 これが不正解の数。
だから正解は50-13=37問

37×10 - 13×5=305点

Q微分積分を習わずに大学に入って、苦労してます。

こんにちは、現在工業大学二年の者です。自分は工業高校(私立で偏差値がとても低い)で微分積分を習わずに大学(エスカレター式)で入りました。高校の頃は、授業もレベルが低く、テスト前にしか勉強しませんでした。他の高校の友達は普段から勉強してたみたいなのですが自分はあまり危機感を感じないまま、卒業してしまいました。大学一年生は基礎的なことが多かったので専門は何とかなりましたが、数学、物理は歯が立ちませんでした。必死に暗記して何とか単位は取れたという感じです。が、二年生になって専門も難易度が上がり、苦労してます。高校の頃は専門は電気の知識があれば大丈夫だなと思っていたのですがやはり数学、物理の知識がないと駄目だなと痛感しています。とりあえず微分積分から勉強したいと思ってます。微分し多少は分かるのですが、積分は全く意味が分かりません。数学の微分積分というよりは物理の微分積分です。ちなみにいつも暗記しているのでしばらくすると忘れてしまい意味がないなとも思ってます。会社に入っても役に立てそうもなく、このままだと将来も不安です。

Aベストアンサー

以前、これらの質問に回答しました。

微積分を学ぶ順番
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3314542.html

面積や体積を積分で求める
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3304647.html


あと、こちらにも回答しました。
(少し難しいですが)
円の面積は円周の長さを積分すれば求まる
球の体積は表面積を積分すれば求まる
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2004787

こちらにも回答しました。
等加速度直線運動は、高校では、こう教わる
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3330818.html
ところが、
x = v0・t + 1/2・at^2
という公式は覚える必要がなく、x^n の形の簡単な関数の積分で求まるんです。

加速度 = a
(等加速なので、aは定数)

 ↓

速度v = 加速度を時刻tで積分したもの
 = ∫a・dt
 = a∫1・dt
 = at + 積分定数
t=0のときの速度(初速)をv0と定めれば、
v0=積分定数
なので
v = at + v0

 ↓

位置x = vを時刻tで積分したもの
 = ∫v・dt
 = ∫at・dt + ∫v0・dt
 = a∫t・dt + v0∫1・dt
 = 1/2・at^2 + v0・t + 積分定数その2
時刻t=0 のときの位置をゼロと定めれば、
積分定数その2 = 0
なので
x = 1/2・at^2 + v0・t
となりました。
tの二次関数ですから、放物線です。

逆は簡単です。
積分の逆は、微分です。

x = 1/2・at^2 + v0・t
 ↓
v = x’ = dx/dt
 = 1/2・2at + v0
 = at + v0
 ↓
加速度 = x” = dv/dt
 = a


このようなイメージでとらえると良いです。
・足し算の逆を引き算と定めた
・掛け算の逆を割り算と定めた
・指数の逆を対数と定めた
・微分の逆を積分と定めた

なお、
#2さんがおっしゃる「数学は暗記物ではない」には、私も基本的に賛成ですが、
微分公式は、導出からやってると日が暮れてしまうので、
最低限、これらは暗記しましょう。
(x^n)’ = ・・・
(e^x)’ = ・・・
(logx)’ = ・・・
(sinx)’ = ・・・
(cosx)’ = ・・・

あと、
微分公式ではありませんが、三角関数の公式も、微積分を学んでいると、よく使います。
最低限、2つの加法定理だけ覚えれば大概何とかなるので、必ず覚えましょう。
sin(A±B) = ・・・
cos(A±B) = ・・・

以前、これらの質問に回答しました。

微積分を学ぶ順番
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3314542.html

面積や体積を積分で求める
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3304647.html


あと、こちらにも回答しました。
(少し難しいですが)
円の面積は円周の長さを積分すれば求まる
球の体積は表面積を積分すれば求まる
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2004787

こちらにも回答しました。
等加速度直線運動は、高校では、こう教わる
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3330818.html
ところが、
...続きを読む

Q鶴亀算等の解き方

小学校の算数で鶴亀算・平均算といった和・差に関する問題は、文字式に置き換えると非常に簡単に解けると思います。小学生は線分・面積図を使って解くようですが、
 線分・面積図の利用で解き方をマスターしてから文字式での考え方を身に付けるのと最初から文字式での解答方法を身に付けるのではのちのちに数学の問題を解く上で何か不都合はでてくるのでしょうか。やはり身に付けるのは
 面積図といった図を用いたものを身に付けて後文字式という流れの方がいいのでしょうか?

Aベストアンサー

人によっていろんな考えがあると思います。

私の場合は、算数が大好きだったこともあって、小学校時代に独学で「連立方程式」を勉強し、学校のテストでは平気でxやyを使った連立方程式にして解いていました。

これは、いちいち線分や面積図等を使ってチマチマ解くのは時間の無駄で馬鹿馬鹿しく、高度な道具を使って鮮やかに解く方が早いしかっこいいと思ったからです。算数の教師から文句(連立方程式なんか使うな、一歩一歩図を使って解け)を言われ、「数学として正しいことをやって何が悪いのか」と反論した記憶があります。

連立方程式を使えばすぐに解けるものを、わざわざいらぬ苦労をする必要はないと思います。

その後、一応国立大の理系に入れましたから、それでよかったような気がしますし。


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