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こんにちは。
今日、学校の課題で「小学生に教える微分積分」と
「中学生に教える微分積分」というものが出されたのですが、
どのように教えればいいのかよくわかりません。
私自身が微分積分を習ったことがないのもあって、
自分がわからない状態です。(^^;
小学生には公式等は使ってはいけなくて、中学生には
使ってもよいそうです。
私は、小学生には鶴亀算なんかが良いのかなぁと
思っていますがどうでしょうか?
ちなみに、それぞれ小・中学校の過程を修了した者が
対象です。なにかいい例えがあったら教えていただきたいです。
よろしくおねがいします。

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A 回答 (10件)

速さと道のり(進んだ距離)の関係は、直感的に一番分かりやすく、また微分と積分が逆演算であることがよく分かります。



小学生向け:
 横軸=時刻、縦軸=速さのグラフを積分して、進んだ距離のグラフを描く、という問題から入ると良さそうですね。三角形や台形の面積の求め方を使います。
 微分法の方は、横軸=時刻、縦軸=進んだ距離のグラフから、速さのグラフを描く。(行って戻ってくる、というグラフでは、進む向きの違いが負速さとして現れます。)

中学生:
導入は小学生と同じで良いと思います。積分はグラフの面積。計算としての微分法は、なにしろ最低でも二次関数を相手にしないと全然面白くない。値打ちもわからない。高次の多項式が分かっていないと話が進まないから困ります。
 長さ100mの輪になったロープで、長方形の土地を囲む。なるべく広い面積を囲むには?という「極値問題」(「XXを最大(最小)にせよ」という問題)を早期にやる事は、微分法の意義を理解させる上で重要と思います。

 stomachman自身が微積分の自習を始めたきっかけは、「なぜ、円錐の体積は(同じ底面積・同じ高さの)円柱の体積の1/3なのか?」という疑問からでした。なぜ丁度1/3? 1/3がどこから来たのか?不思議で仕方がない。
 (当時OKwebはなかったので)家にあった百科事典で調べたら、運良く「区分求積法」に行き当たりました。円錐を水平に薄切りにする。一つ一つは円盤です。この円盤の体積を求めて総和する。(無限に薄く切れば、無限に多くの円盤が出来るわけで、旨く工夫しないと総和が計算できません。)これはなかなか良い導入だった。そのパワー、つまり普通では計算できないものが解ける!が実感できたからです。
 (実は幾何学的に1/3を出す方法もあったんですが、ま、それは置いといて。)

鶴亀算はあんまり関係ないなあ。
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この回答へのお礼

私もいろいろ本を読んでいて、速さと道のりは
わかりやすかったです。
細かく考えていただいてありがとうございました。
参考にさせていただきながら、ちょこちょこやってみようと
思います。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2001/01/28 20:56

 う~ん


 学校では教員を専攻してらっしゃるのでしょうか?
 その課題を与えら先生は「それぞれの人に同じ事を説明できるようになりなさい」ということですよね。
 (大学ではなく高校かな?それなら習ってなくても・・・(自分は高校でも建築科だったが微分、積分、さわりだけ授業やってました))
 小学1年生と6年生でも教え方ってかなり違うと思うし、中学生でも二次関数完璧な人と、因数分解苦手な人に教えるのには違うアプローチの方が良いと思うし・・
 う~~ん、課題の意図がわからなくなってきちゃった・・・
 物事を教えるにはその知識以外が80%占めるからね~
(幼稚園とかの保母さんに聞いた話では足し算教えるのに
 「イチゴがいくつありますか?」でわかる子も居れば、
 「カブトムシは何匹いますか?」でわかる子もいると・・)
 すいません・・・
   何のKOTAERUにもなってませんでしたね
      m(__)m ゴメン
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この回答へのお礼

教職課程というわけではないのですが、なぜかこの課題を
出されてしまったのです。
高校で微分積分はやってないのでよくわからないのですけれど、
まだ少し時間がありますので研究してみようと思います。
わざわざありがとうございました。

お礼日時:2001/01/28 20:52

 補足です。

ドナルド・コーエン氏のHPが本で紹介されていたのを忘れていました。下のURLで行けます。(ただし、当然英語です)

 それから、同じくブルーバックスで、
 『マンガ微積分入門』
という本もありました。これも、例えば円の面積をトイレットペーパーで考えるとか、わかりやすくて面白いものでした。

 やりがいのある課題だと思います。がんばって。

参考URL:http//www.shout.net/~mathman/
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この回答へのお礼

わかりやすい本を教えていただいてありがとうございました。
なんとかがんばってみようと思います(^^;

お礼日時:2001/01/28 20:58

 たとえば…



速度…微分的の応用。Aさんがn地点からm地点まで歩きました。 歩く速さは一定ではないですし、途中でジュースを買って休むかも知れません。速度は単位時間あたりの距離ですが、瞬間瞬間で変化する値です。
 そして、そんな瞬間瞬間の積み重ねが、距離(積分の応用)になる。

面積…下でも書かれていましたが、積分の応用です。例えば、円をできるだけ細い弧に切って、四角形のカタチに当てはめていく。その結果、面の面積の求め方に近くなっていることを確かめる。

 というような、身近なものをつかうというのも一つの手かも知れません かね。
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この回答へのお礼

速度を使っての説明はわかりやすいですよね。
私も速度を使っての説明を読んでいてよくわかったので。
面積・・・の方はまだぼやけた感じなのでこれから勉強してみようと思います。
わざわざどうもありがとうございました。

お礼日時:2001/01/28 21:09

 講談社のブルーバックスシリーズで



 ドナルド・コーエン著 新井紀子訳
 『アメリカ流7歳からの微分積分』

という本があります。
 読みましたが、6歳とか7歳くらいからの子どもたちに興味の赴くままに問題を与え、「数列」や「微分・積分」につながる「発想」を共に考えていこう、というものでした。
 日本の小中学校の算数・数学教育にも、こういう面があったらいいのに、と感じました。
 もし、ご参考になれば。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
ただ、近くの図書館にはこの本はなかったので
参考にはできなかったのですが、もうひとつの「マンガ微積分入門」は
置いてあったので(なぜマンガが?/笑)
参考にさせていただきます。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2001/01/28 21:02

そもそも何を教えるのかがわかりません。


考え方?歴史?それとも具体的計算方法?(それは無理だろうな…)

考え方、というのであれば、
積分は、やはり面積が一番わかりやすいのでは?
台形公式を使ってグラフの面積を出すのは、小学校でも理解できます。
(一次直線なら完全に。適当な曲線でも考え方はわかるはずです。)

また、微分については他の方も書かれたようにグラフの傾きですね。
ただ、本当に「傾き」とやってしまうとよくわからないと思うので、
やはり台形公式を使うのがよいかと思います。
x=x0での傾きという話しをするのではなく、
x=x0とx=x1のときのそれぞれのyを結んだ傾きですね。

そうすると、微分と積分がちょうど互いに反対の考え方だということがよくわかりますよ。

何にしても、せめて台形公式くらいはご自分で納得されなければ、何ともなりません。がんばってください。
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この回答へのお礼

私も、具体的になにを説明したらいいのかよくわらないのですけど、(課題の題が小・中学生に教える微分積分だったので・・・。)
とりあえず自分が学んでみようと思います。
atsuotaさんのおっしゃる、台形公式から取り組んでみようと
思います。
わざわざありがとうございました。

お礼日時:2001/01/28 21:06

数学的帰納法の応用をしてみては?

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この回答へのお礼

数学的帰納法って微積に精通しているんですか?
考えてみたこともありませんでした・・・。
これからちょっと考えてみようと思います。
わざわざありがとうございました。

お礼日時:2001/01/28 21:13

あ、ご自分でもわからないのですか(苦笑)



ぶっちゃけていうなら微分はある座標点の傾き、
積分はある座標点からある座標点までの面積(うーん言い方が難しい)です。

どちらも1次曲線のみだったら方眼紙を使った解説でなんとかなるんじゃないかと。
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この回答へのお礼

そうなのです。自分がよくわかっていないので困ります。(^^;
まだちょっと時間があるので、何とか理解に努めてみようと
思います。どうもありがとうございました。

お礼日時:2001/01/28 21:15

なぜそういうことになったのかちょっと理解に苦しむのですが


積分はおいておいて微分に関してはわかりやすい座標点を取って1点づつ検証することによって
説明できないでしょうか?
ある座標点の傾きを方眼紙で説明するなど。
それ以前に小学校で2次曲線って教えましたっけ?
1次曲線のみだったらなんとかなりそうですが。
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この回答へのお礼

私・・・・・は小学校で2次曲線を教わったことはなかったと思います。
塾なんかに通っている子はどうなのかはわかりませんが(^^;
これからがんばってやっていこうと思います。
わざわざありがとうございました。

お礼日時:2001/01/28 21:18

> 小学生には鶴亀算なんかが良いのかなぁと



つるかめ算は連立方程式です、微積分ではありません。

> 私自身が微分積分を習ったことがないのもあって、
> 自分がわからない状態です。(^^;

こっちの解消の方が急務です。
自分の解らない事など教えられません。
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この回答へのお礼

仰るとおりです(^^;
これからちょっと、勉強を始めてみますね。

お礼日時:2001/01/28 21:20

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数学では同じ働きをするものは同じとみなします。
5個のりんごと5個のみかんでは数という意味で同じとみてしまえ!
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ですから、kbannaiさんが同じと思うのであれば同じと一度置いてみればいいのではないでしょうか?
それで分数の計算の性質をすべて満たすならば、
それは分数と同じように扱ってもまったくかまわないわけです。

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とまあ、恥ずかしげもなく書きたいこと書いていますが許してください。

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がえらく心に響いたので、蛇足というかナメクジに足のような回答です。

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Q【緊急】銅イオンの定性分析【緊急】

先日、銅イオンの定性分析化学実験を行いました。
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この黒い沈殿は硫化銅と分かったのですが、この白濁した原因はなんでしょうか?
この部分の反応原理がイマイチ分かりません。
詳しく教えてください。お願いします

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ハイドロサルファイト S2O4(2-) は銅イオンによって酸化され亜硫酸イオンを生じます。この亜硫酸イオンが酸性条件下、硫化水素と反応して硫黄を析出したものと考えられます。

反応式
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SO3(2-) + 2H2S + 2H(+) = 3H2O + 3S

2番目の反応の H(+) はハイドロサルファイトの空気酸化によって生じた硫酸水素イオン HSO4(-) から来ていると思います。( HSO4(-) + H2O = H(+) + SO4(2-) )

Q定性分析と定量分析の違い

定性分析は与えられた物質がどのような元素郡を含むか(何が含まれているか)を知るのが目的であるのに対し、定量分析は与えられた物質に目的の成分がどれだけ含まれているかを知るのが目的ですよね?

では、それ(目的)以外で定性分析と定量分析の違いってありますか?
例えば、必要とされる条件とか。何でも良いですのでおしえてください!

Aベストアンサー

「定性分析の方が難しい」とは限りません。それは「何を指して」定性分析と
呼ぶか(採用する分析手法・装置も含め)の違いによります。

「元素分析」を例に取ると、原子吸光光度計による「定性分析」は、特定の
元素対応のホローカソードランプを取っ替え引っ替えしないといけませんから、
大変です。しかし、ICP発光やICP-MSでは全く事情が異なります。ICPでは
(感度は別にして)ほとんど全ての元素を一度に分析できます。この場合、
"定性分析"として検出可能な濃度下限は「検出下限」と呼ばれます。
これに対し、「その元素がどれだけの量含まれているか」の定量分析が
できる濃度下限は「定量下限」と呼ばれます。通常、

  定量下限>検出下限

です。このため、一般に"定量分析"の方が濃度的に大きなものを必要とする
ので、ある対象について、

  定性分析はできても、定量分析はできない

ということが起こります(当然"ある濃度以下である"ということは言えますが)。
もちろん、再現性などの観点でも、定量分析の方が要求されるものが多く
なります。

「定性分析の方が難しい」とは限りません。それは「何を指して」定性分析と
呼ぶか(採用する分析手法・装置も含め)の違いによります。

「元素分析」を例に取ると、原子吸光光度計による「定性分析」は、特定の
元素対応のホローカソードランプを取っ替え引っ替えしないといけませんから、
大変です。しかし、ICP発光やICP-MSでは全く事情が異なります。ICPでは
(感度は別にして)ほとんど全ての元素を一度に分析できます。この場合、
"定性分析"として検出可能な濃度下限は「検出下限」と呼ばれます。
...続きを読む

Qレーキ?

今週の実験で、アルミニウムイオンの検出の為に試薬を色々と入れたら
輝赤色になり、これはどうも「アルミニウムのレーキ」が生じた為に
変化が起こったみたいです。
・・・このレーキというのは何なのでしょうか?自分で調べた結果、顔料やらインク等に使われている・・ぐらいしか分かりませんでした。
どなたかご存知の方はいらっしゃいませんか?

Aベストアンサー

染料などの分野で使うレーキという言葉は、物質を表しているのではなくその物質の状態を表しているのだと思います。
そして意味は不溶化ということです。
ですから、~レーキといえば、~が不溶化した状態の物を表します。
私は泥のような状態になっているイメージを持っています。
ご質問のアルミニウムレーキというのは、アルミニウムイオンの状態で水に溶解していたものが試薬を入れることによって輝赤色で水に溶けない物質に変化したということを意味しているのではないでしょうか。
遠心分離などをすれば、沈殿物になりますよね。
沈殿物が泥の層のようになっているものもレーキと呼ぶと思います。
ウィキペディア(Wikipedia)でインディゴ・レーキで検索してみてください。
レーキ(不溶化)という表現が見つかります。

Q微分積分の使い道について

微分積分の使い道について

昔から数学が得意でなくて、微分積分もなんとなくでここまでやってきました。しかし、一応は出来るものの、未だにその存在意義がよくわかりません。一体どういう場面、どういった目的、どういった用途で微分積分は用いられ、役に立っているのでしょうか?

Aベストアンサー

応用のひとつに"制御"があります。

例えば、この時期暑いですよね。冷房で部屋の温度を24度に保つことを考えます。
正確には冷房のパワーを調節して部屋の温度を"制御"することを考えるわけです。
全自動エアコンではないですよ。パワーを0~10の範囲で手動で調節しなければならない冷房器具です。
外はよく晴れて太陽が照りつけていると思ってくださいね。

もし部屋の気温が24度より低ければ、冷房をつければさらに寒くなってしまいますから冷房はつけなくていいですね。
で、気温が24度よりも高ければ、冷房をONすると。
……これだけでは不充分なのです。

これだけではパワーをどれくらいに設定すればいいか分かりませんよね。
室温は25度なのにパワー10で冷房を効かせてすごく寒くなるかもしれません。
それに同じ25度でも外が曇りなのか晴れなのか雨なのかによってパワーは変えていくべきですよね。


そこで現在の気温だけでなく、"気温の変化率"をみると良いのです。
同じ25度でも2時間前からほとんど変化していないならパワーは弱くて良いでしょうし、たったの10分で20度から25度になるくらい急激に気温が上がっているならパワーも強く設定するべきでしょう。
逆に1時間前に30度だった気温が現在25度になったなら、ほっといても室温は下がる。冷房はいらないとなります。

これはつまり、冷房のパワーは現在の気温Tだけで決めるより、現在の気温Tと「Tを微分したT'」を合わせて決める方が確実というわけです。


それだけではありません。
冷房をつけたことによって気温の上昇が緩やかになったなら、涼しくなるまでもう少し時間がかかるものの冷房の設定はいい感じと言えます。
冷房をつけても更に激しく気温が上昇するなら、冷房が真夏の太陽に力負けしていると言うことです。もっとパワーを上げなければいつまで経っても涼しくなりません。
これはそう、"気温の変化率の変化率"を見るということですね。数学的な記号で書けば2次微分係数T''です。


このように室温を制御するならば、普通、"室温"と"室温の変化率"と"室温の変化率の変化率"を見ながら冷房のパワーを調節してやります。
そして今回の例のように"ある物の状態を制御してやるための理論"が"古典制御論"です。

古典制御論では今見たように"微分"を使いますし。制御した結果、室温がちゃんと24度で一定に落ち着くのかを判定するために"ラプラス変換"というテクニックを用います。ラプラス変換するためには、ある関数を"積分"する必要があります。
古典制御論を私たちの暮らしに応用したものが、例えば全自動エアコンなのです。

あなたがエアコンをつけて設定温度を24度にするだけで、部屋の温度が24度で一定になるのも、微分積分のおかげ、そして古典制御論のおかげなんですね。
見えないところで意外に役に立っているものだ。

応用のひとつに"制御"があります。

例えば、この時期暑いですよね。冷房で部屋の温度を24度に保つことを考えます。
正確には冷房のパワーを調節して部屋の温度を"制御"することを考えるわけです。
全自動エアコンではないですよ。パワーを0~10の範囲で手動で調節しなければならない冷房器具です。
外はよく晴れて太陽が照りつけていると思ってくださいね。

もし部屋の気温が24度より低ければ、冷房をつければさらに寒くなってしまいますから冷房はつけなくていいですね。
で、気温が24度よりも高ければ、冷房を...続きを読む

Q微分積分を学ぶにあたっての基礎知識

微分積分をとある事情により独学で学ぶことになってしまいました。
そこで、「石村園子 著  やさしく学べる微分積分」という本を買って学習し始めたのですが
圧倒的に基礎知識が足りないことが分かりました。 (グラフ、三角関数、平方完成等々…)
ですので、そこから学び直したいと思ったのですが、微分積分を学ぶにあたって、具体的に必要な基礎知識は一体何でしょうか?
また、それに関する良い参考書等がありましたら是非とも教えていただきたいです。

ちなみに…
私は、高校が工業高校でしっかりと数学というものをやっておらず、大学も推薦のため、受験勉強をしていません。
そして大学は数学とは全く無縁の学科に入学したため、私の数学に関する知識はかなり低いです。

Aベストアンサー

こんにちは。

私も必要になってから数学を勉強しなおしたクチです。

ちょっと値は張りますが、私は
http://www2.smsi.co.jp/jtex-app/products/detail.php?product_id=271
で一から勉強し直しました。

ほぼ、小学生レベルから大学初年度クラスまで網羅できている内容だと思います。
普通の本屋で売っている工学系の専門書を理解する程度であれば
十分通用すると思います。

ご参考まで。


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