実数係数の多項式の因数分解

実数係数の多項式 f(x) ∈ R[x] を実数の範囲で因数分解すると、1次あるいは2次式の積として分解できます。

これは複素数の範囲まで考えれば、α ∈ C が f(x) = 0 の根であれば、その複素共役 \bar{α} (上付きのバーの意味ね)も f(x) の根であるため明らかです。

議論を実数の範囲に限定して、同じ命題を証明することは可能でしょうか？
また可能だとして、その戦略を一般の体 k 上の多項式環 k[x] に適用するにはどうすれば良いでしょうか？

No.3 回答者： ojisan7 回答日時： 2007/05/08 22:13

普通、代数方程式を扱うときの拡大体を求めるには、次数の低い方程式から、次数の高い方程式へと段階を踏んで、根を添加し、拡大するという、手順で進めますね。

そして、それぞれの段階で求められる体は、代数的数の体になります。そして、拡大の仕方は、考えている方程式が一次式の積に分解する体、つまり正規拡大体になるようにするのです。これが、普通、代数学で扱う体です。ところが、実数体というのは、２次の拡大でさえ不備です。なぜなら、x^2+1の分解体にすらなっていません。しかし、実数は超越数まで含んだ完備な数体系です。このような意味で、「実数体は、代数的には少し偏った、特異的な体だ」という表現をさせていただきました。

「f(x) ∈ R[x] を実数の範囲で因数分解すると、1次あるいは2次式の積として分解できる」ことを理解するには、共役複素数（あるいは、それに代わる類似のもの）を使うより他に手がないような気がします。

「一般の体 k についてはその分解体、代数的閉包がどのような形になるのか」ということですが、抽象的な体は、その標数によって分類されますます。そして、拡大の方法も有理数体を拡大する方法と同様の手法が使えるのです。この辺については、ご自分で考えて下さい。

この回答への補足

>実数体というのは、２次の拡大でさえ不備です。
>なぜなら、x^2+1の分解体にすらなっていません。
>しかし、実数は超越数まで含んだ完備な数体系です。
>このような意味で、「実数体は、代数的には少し偏った、特異的な体だ」という表現をさせていただきました。

なるほど、正規拡大体を考えることで、議論がしやすくなるが、x^2 + 1 の R 上の分解体が C になるので、R にとどまって議論をすることが困難だという趣旨でよろしいか。

>しかし、実数は超越数まで含んだ完備な数体系です。
>このような意味で、「実数体は、代数的には少し偏った、特異的な体だ」
>という表現をさせていただきました。
逆に R の完備性や連続性による性質を利用することで、因数分解の特徴を捉えることができないものでしょうか？
非常に単純な例で言えば、奇数次元の多項式 x^7 + 5x^2 + 6 であれば中間値の定理から少なくとも一つの実数解があるので x^7 + 5x^2 + 6 = (x - α)(x^6 + ... ) のように分解できますよね。
更に進んで残りを 2次式の積まで分解できないものかと考えています。

一般の体については議論が難しくても、k が完備な附値体であれば似たような議論ができるとか、他に条件を追加することで k[x] の既約元に対する知見が得られないものでしょうか？

補足日時：2007/05/10 04:48

No.2 回答者： ojisan7 回答日時： 2007/05/07 18:53

実数体というのは、代数的には少し偏った体ですよね。

実数体は実数の代数的数はすべて含まれています。しかし、２次方程式ですら、解くことはできません。ところが、Ｒに虚数iを添加するだけでＲ(i)=Ｃは、代数閉体になります。また、複素数根は、実係数の代数方程式に必ず共役根として存在します。このことを考えると、「議論を実数の範囲に限定して因数分解する」ということは、その分解体まで考えないと、ちょっと無理だということが分かるのではないでしょうか。
「その戦略を一般の体 k 上の多項式環 k[x] に適用するにはどうすれば」ということですが、この場合についても、標数０の体に限っていえば、実数体と同様な論法が使えるのではないでしょうか。

この回答への補足

>実数体というのは、代数的には少し偏った体ですよね。
>実数体は実数の代数的数はすべて含まれています。
ちと分かりませぬ。

分解体を考えるのは良いのですが、一般の体 k についてはその分解体、代数的閉包がどのような形になるのか見当もつかないですよね。

でも実数体については 2次拡大を考えればそこで代数的閉体まで到達してしまいます。その特異性はどの辺にあるのだろうという疑問です。

補足日時：2007/05/08 00:22

No.1 回答者： guuman 回答日時： 2007/05/07 14:45

複素数の概念を使わないで証明するのならば

証明の中に複素数の概念を定義して
定義した複素数の中で使う性質を証明して
証明すればよい

０と１からなる有限体をＫとすると
ｘ＾３＋ｘ＋１
は規約多項式であり因数分解できない

代数学の基本定理のことを考えるとこの質問は論外

この回答への補足

>複素数の概念を使わないで証明するのならば証明の中に複素数の概念を定義して
>定義した複素数の中で使う性質を証明して証明すればよい
それは、x^2 + 1 の R[x] での既約性を証明して、体 R[x]/(x^2 + 1) を考えて云々ということですか？

>０と１からなる有限体をＫとすると
>ｘ＾３＋ｘ＋１
>は規約多項式であり因数分解できない
>
>代数学の基本定理のことを考えるとこの質問は論外
ちょっと何をおっしゃりたいのか意味が把握できません。

私の質問は、単純に R[x] の既約元を決定するのに、R の代数的閉包を考える必要があるのだろうか？つまり R[x]/(x^2 + 1) が代数的閉体であることまで示す必要があるのだろうか？

もっと原始的に証明できんもんかなぁ。ということです。

補足日時：2007/05/08 00:16