14歳の自分に衝撃の事実を告げてください

cos135°が-√2分の1になる理由を教えてください。どうすれば求めることができるのでしょうか?ほかにもcos67.5が2分の√2-√2になる理由もわかる方がいたら教えてください。みにくくてわかりにくいかもしれませんがお願いします。

A 回答 (7件)

cos67.5°は、倍角の定理、cos2A=2(cosA)^2-1を


利用して、A=67.5°とすれば 2A=135°なので
 cos135°=2(cos67.5°)^2-1
 -1/√2=2(cos67.5°)^2-1
 2(cos67.5°)^2=1-1/√2
        =(√2-1)/√2
        =(2-√2)/2
 (cos67.5°)^2=(2-√2)/4
 cos67.5°>0なので、∴cos67.5°={√(2-√2)}/2
 と計算できます。
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(1) 加法定理を使うなら、


cos135°=cos90°cos45°-sin90°sin45°=-sin45°
でしょう。
(2) やっぱり加法定理で、x=67.5°とすれば、
cos2x=cosx・cosx-sinx・sinx
=cosx・cosx-(1-cosx・cosx)
=2cosxcosx-1
これを -√(1/2) と置けば、cosx を求めることができます。
答は、#6さんのとおりです。

なお、√(2-√2) を √2-√2 と書かないようにしてください。
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2番目の問いは、三角関数の下方定理を用いて


cos67.5をcos135であらわす式をつくればよい。
ただし、2分の√2-√2にはならないと思いますが?
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2番目の問いは、三角関数の加法定理を用いて


cos67.5をcos135であらわす式をつくればよい。
ただし、2分の√2-√2にはならないと思いますが?
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cos135°=-cos45°ですよね。

単位円を書けば分かります。というかsinにしろcosにしろ45°は√2分の1です。
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cosは 半径1の円を書いて円の中心から135°の線を引く


 その線と円の交点から垂線を下ろした位置の
 x軸の座標なんだけど・・・・・

 図を描くと 長辺の長さが1の直角二等辺三角形だから
1辺の長さは √2になります。

 ↓図はここを参照
 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92% …
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図を書いてごらんなさい。

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