ロピタルの定理は大学入試ではタブーですが、さすがに証明をすれば使えると思います。学校の先生はかなり複雑だといっていましたが、割と簡単な証明が参考書に載っていました。(正式なものでないかもしれません。)それについて教えてください。
F(x)=f(x)-f(a)-k{g(x)-g(a)},,k={f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)}とおく。
F(a)=F(b)=0でロルの定理よりF'(c)=0(a<c<b)から得られる。
f(x)/g(x)={f(x)-f(a)}/{g(x)-f(a)}=f'(c)/g'(c)
a<c<x,またはa<c<a
x→aのときc→a
lim(x→a)*f(x)/g(x)=lim(c→a)f'(c)/g'(c) QED
とあります。~~とおく。の後がいまいちわかりません。教えてください。またこの証明でロピタルを証明したことになりますか。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
ロピタルの定理の証明が「複雑」というのは
そのバリエーションの多さにあるんです.
「難しい」ではなく「複雑」という表現をしてるというのは
そのあたりの反映かもしれませんね.
なお,その証明そのものは問題ないです.
立派にロピタルの定理の一つのバージョンを証明しています.
で。。。まず「ロルの定理」をご承知ですか?
関数Fが区間[a,b]で連続,区間(a,b)で微分可能であり,
さらにF(a)=F(b)=0であるならば,a<c<bとなるcで
F'(c)=0となるものが存在する
というのがロルの定理です.
当たり前といえば当たり前なのはわかりますか?
この定理から
f(x)/g(x)={f(x)-f(a)}/{g(x)-g(a)}=f'(c)/g'(c)
#一箇所誤植を直しました.
がでてくるのはOKでしょうか?
#この式は「コーシーの平均値の定理」といいます
#普通の平均値の定理は「ラグランジュの平均値の定理」といいます.
#コーシーの平均値の定理で g(x)=x とすればラグランジュがでてきます
こうなればロピタルは自明です.
===========
ここまで,頑張るならもうちょっと背伸びして
時間が許せば「Taylor展開」まで調べてみると,
展望が開けますよ.
ロピタルも含めて,いろいろなものが
すっきり見えるようになります.
受験テクニックとしてはロピタル同様,
禁じ手の領域ですが,いろいろな仕組みが見えます.
テイラーの展開も聞いたことはあります。微積のやるべきことが終わった手を出そうと思います。余裕があればですが。
あの複雑な公式(規則性はありますが)を覚える必要はあるのでしょうか。覚えた上でいろいろな仕組みが見えて来るのでしょうか。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
素数の性質
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
(4^n)-1が3の倍数であることの...
-
よって・ゆえに・したがって・∴...
-
47歳、母親の再婚を子供の立場...
-
123456789!!!
-
親の再婚相手との問題です。私...
-
婿養子です、妻と離婚して妻の...
-
ぶすですか?
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
素数の積に1を加算すると素数で...
-
正解が一つとは限らない数学の...
-
独身女が養子をもらうことって...
-
配偶者と死別後、再婚したら、...
-
√7が無理数であることの証明
-
「・・・のとき」という言葉の...
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
兄弟の子どもの養子縁組は可能...
-
地頭力を証明できる肩書きって...
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
素数の性質
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
素数の積に1を加算すると素数で...
-
婿養子です、妻と離婚して妻の...
-
親の再婚相手との問題です。私...
-
証明終了の記号。
-
(4^n)-1が3の倍数であることの...
-
婿養子に入ったのに出て行けと...
-
実息とは?
-
よって・ゆえに・したがって・∴...
-
無理数って二乗しても有理数に...
-
47歳、母親の再婚を子供の立場...
-
再婚、奨学金
-
ゴールドバッハ予想について考...
-
正解が一つとは限らない数学の...
-
再婚を考えてますが、養子縁組...
おすすめ情報