単位垂直ベクトル（右に９０度）

ある単位ベクトル a　= <x,y>, |a|= √(x^2+y^2)=1について、
このベクトルの方向から見て右側に９０度（垂直）で
大きさがaと等しいベクトルbは、
b　=　<y, -x>となる。

うえの表現について、この場合a・b＝０かつ|b| = 1　となるから、
bは上の題意を満たすということが感覚的にわかるのですが、
途中の式が思いつきませんでした。。。

bを計算できちんと出すとしたら、
どのような式でaからbを導き出せばよいのでしょうか？

よろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/05/13 00:58

１＃（既知と思いますが。

）
　　　　　　　　／（Ｘ、Ｙ）
　　　　　　／
　　　　／　
　　／
／
ーーーーーーーーーーーー
＼
　　　　＼　　
　　　　　　　　＼
　　　　　　　　　　　　＼（Ａ、Ｂ）

図形的に見てＡ＝Ｙ、Ｂ＝ーＸ
ーーー
２＃（計算で。）

（１）Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝１
（２）Ａ＾２＋Ｂ＾２＝１
（３）ＡＸ＋ＢＹ＝０

（Ｂ≠０として）
Ｙ＝－ＡＸ／Ｂ　（１）に代入して、
Ｘ＾２＋（－ＡＸ／Ｂ）＾２＝１
（Ｘ＾２）【Ａ＾２＋Ｂ＾２】／Ｂ＾２＝１　（２）より
（Ｘ＾２）／Ｂ＾２＝１
（Ｘ＾２）＝Ｂ＾２
　　Ｘ＝Ｂのとき（３）に代入してＡ＝－Ｙ
（Ａ、Ｂ）＝（－Ｙ、Ｘ）　これは左回転のベクトル
　　Ｘ＝ーＢのとき（３）に代入してＡ＝Ｙ
（Ａ、Ｂ）＝（Ｙ、ーＸ）　これが求めるベクトル
ーーー
３＃（回転行列使用可ならば）

Ａ＝Ｘ＊ＣＯＳ（ー９０度）－Ｙ＊ＳＩＮ（ー９０度）＝Ｙ
Ｂ＝Ｘ＊ＳＩＮ（ー９０度）＋Ｙ＊ＣＯＳ（ー９０度）＝ーＸ
ーーー
４＃（複素平面使用可ならば）

Ａ＋iＢ
＝（Ｘ＋iＹ）【ＣＯＳ（ー９０度）＋i＊ＳＩＮ（ー９０度）】
＝（Ｘ＋iＹ）（－i）
＝Ｙ－iＸ
（Ａ、Ｂ）＝（Ｙ、ーＸ）

他は思いつきません。

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
２＃のやり方でといて、
二つ出た答えのどちらにするかを
図形を考えて決めて出しましたが、
３＃４＃のような、向きを直接指定できる
やり方もあるんですね、、
とても参考になりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2007/05/13 16:30

No.4 回答者： debut 回答日時： 2007/05/12 23:55

ｂ＝＜ｍ、ｎ＞として、ｘ軸(正の部分)とｂベクトル

のなす角がθなら、ｍ＝cosθ、ｎ＝sinθです。
また、ａベクトルとｘ軸(正の部分)となす角はθ＋90°
なので、ｘ＝cos(θ＋90°）、ｙ＝sin(θ＋90°）。
これらは加法定理で、ｘ＝－sinθ、ｙ＝cosθ
となるので、ｍ＝ｙ、ｎ＝－ｘとなります。

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
なるほど！
最初にｍ＝cosθ、ｎ＝sinθとおけば、
±９０度でもうひとつの垂直ベクトルをあらわせるんですね。
これだと右に９０度ということを簡単に表せるので、とても参考になりました！
ありがとうございます。

お礼日時：2007/05/13 16:39

No.3 回答者： zk43 回答日時： 2007/05/12 23:48

b=(u,v)とすると、a・b=xu+yv=0より、u=ky,v=-kxとなります。

（比例
関係を考えて）
u^2+v^2=k^2(x^2+y^2)=k^2=1からk=±1です。
なので、b=(y,-x)またはb=(-y,x)となります。
どちらをとるかですが、a=(1,0)のときb=(0,-1)であることを考えると
b=(y,-x)です。

または、aが単位ベクトルということはa=(cosθ,sinθ)と表せます。
これを右方向に90°回転させると、
b=(cos(θ-90°),sin(θ-90°))=(sinθ,-cosθ)
となるので、元のa=(x,y)からみればb=(y,-x)です。
あるいは-90°の回転行列をa=(x,y)に作用させても良いです。
こちらの方が図形的に考えられるのでわかりやすいと思います。

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
＞＞aが単位ベクトルということはa=(cosθ,sinθ)と表せます。
これを右方向に90°回転させると、
b=(cos(θ-90°),sin(θ-90°))=(sinθ,-cosθ)

なるほど！このやりかたでやると、
計算式を向きを右に９０度と指定して
すぐに答えをを出すことができました。
参考になりました！
ありがとうございます

お礼日時：2007/05/13 16:54

No.2 回答者： hugen 回答日時： 2007/05/12 23:43

b＝(X,Y)　　とおく。

右側に９０度の回転によって、ｙ軸はｘ軸に重なるから
y＝X
x軸は、y軸に重なり、向きは逆だから
-x＝Y

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。

＞＞b＝(X,Y)　　とおく。
右側に９０度の回転によって、ｙ軸はｘ軸に重なるから
y＝X

こういう風に計算式を表せるとは思いつきませんでした！
これならとてもシンプルに答えにたどり着けました。
ありがとうございます。

お礼日時：2007/05/13 16:58

No.1 回答者： futoshi123 回答日時： 2007/05/12 23:12

そこまで出来ているのならもうちょっとだと思いますよー。

b=<\alpha, \beta>と置いて、aとbの関係から\alpha、\betaの条件を出してみましょう。

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。

上の条件を使って計算したら、
答えはb　=　<y, -x>　と　<-y, x>とでて
どちらが右に９０度のベクトルを表すかは図形的に判断して
答えにたどり着くことができました。

ヒントありがとうございます！

お礼日時：2007/05/13 17:03