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(1)方程式x3乗ーx2乗+ax+b=0の解が1つがx=1+iであるとき、実数解a,bの値を求めよ。またほかの解を求めよ。

x=1+iを方程式に代入したのはいいんですがそれからなにをすればいいかよくわかりません。

(2)直線Jの方程式 y=2x+1とするとき、Jに関して点A(1,1)と対称な点Bの座標を求めよ。

対称の時の仕方が教科書みてもいまいちわかりません。どなたか詳しく説明してくれませんか?

A 回答 (5件)

1.A+Bi=0のとき、A=0,B=0だから、連立する


 といいのでは。
2.対称点を(a,b)とすれば、(1,1)との中点
 ((a+1)/2,(b+1)/2)は直線上にあります。
 つまり、これをy=2x+1に代入できます。
 また、(a,b)と(1,1)の傾き(b-1)/(a-1)は
 直線y=2x+1に垂直なので、-1/2になります。
 (直線の垂直条件・・2つの傾きの積=-1)
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この回答へのお礼

説明ありがとうございます。

お礼日時:2007/05/13 21:44

さっきの回答で他の解で1-ⅰを忘れてました。

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(2)はNo.2さんと同じ解き方なので省略します。

この解き方を覚えておけば後で役に立ちます。
(1)は、実係数の方程式が複素数解を持つとき、その共役複素数も解であることを利用します。(1)の方程式を(x+U)(x^2+1)=0と置いて恒等式を解けばおしまいです。あっさりとa=1,b=-1、他の解x=1が出てきます。直接代入は計算ミスが出やすいのでお勧めしません。
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この回答へのお礼

参考になる説明ありがとうございます。

お礼日時:2007/05/13 21:46

(1)


X^3-X^2+AX+B=0
α=1+i
β=1-i
α+β=2
αβ=2
X^2ー2X+2=0
(X^2ー2X+2)(Xの一次式)=0
割り算を実行すると、
X^3-X^2+AX+B
=(X^2ー2X+2)(X+1)+【AX+(B-2)】
【AX+(B-1)】が恒等的に0より
A=0、B=2、他の解はX=-1、1-i

直接代入するならば、
(1+i)^2=2i
(1+i)^3=(1+i)2i=2iー2
X^3-X^2=ー2
ー2+A(1+i)+B=0
ー2+A+iA+B=0
実部と虚部に分けて
(A+B-2)+iA=0+0*i
よって、A=0、B=2
X^3-X^2+2=0
因数定理を使用、X=-1のとき
ー1-1+2=0
(X+1)(Xの二次式)=0
割り算を実行して
(X+1)(X^2ー2X+2)=0
X^2ー2X+2=0より
解の公式(その2)より
X=1±i
よって、他の解は-1、1-i

(2)
Y=2X+1
点A(1,1)
(1,1)をとおり、Y=2X+1に垂直な直線の方程式は
Y-1=(-1/2)(X-1)
Y=(-1/2)(X-1)+1 
2式を連立させて
2X+1=(-1/2)(X-1)+1 
2X=(-1/2)(X-1)
4X=-X+1
5X=1
X=1/5、Y=7/5
これは、A、Bの中点の座標M(1/5、7/5)
Bの座標(S、T)と置くと、
(S+1)/2=1/5
(T+1)/2=7/5
計算してB(-3/5、9/5)

または
B(S,T)とし、
中点M((S+1)/2、(T+1)/2)がY=2X+1上にある事より、
(T+1)/2=(S+1)+1、変形して
【1】2S-T+3=0
直線ABの傾きが(-1/2)より
(T-1)/(S-1)=-1/2 (S≠1) 変形して、
【2】S+2Tー3=0
【1】【2】を連立して、B(-3/5、9/5)
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この回答へのお礼

みなとても参考になりましたが詳しく書いていただき答え合わせにも役に立ちました。ありがとうございます。

お礼日時:2007/05/13 21:46

>.... x3乗ーx2乗+ax+b=0の解が1つがx=1+iであるとき、実数解a,bの値を求めよ。

またほかの解を求めよ。 ....

まずは、(1)だけ。

[ヒント]
・解の1つが x=1+i ならば x=1-i も解のはず。これから2次(因数)多項式を求めます。
・残りは1次(因数多項式)なので (x+R) とでもしましよう。
・2次と1次の多項式を掛ければ x^3-x^2+ax+b と等値ですから、実数 a,b,R がわかります。
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この回答へのお礼

説明ありがとうございます。

お礼日時:2007/05/13 21:44

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