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こんばんは。
~次同次関数について教えてもらいたいのですが、~の部分が分数になることはないものなのでしょうか?
x,y,zの関数fをf(x,y,z)=(y*z*x^2)^(1/3)とすると、これは何次同次関数になるのでしょうか?
いつもの様に2x,2y,2zを代入して考えてみたのですが、
{2y*2z*(2x)^2}^(1/3)=(16x*y*z)^(1/3)=2^(4/3)
つまりf(x,y,z)*2^(4/3)=f(2x,2y,2z)
となり、4/3次同次関数となってしまったのですが、なにか私の~次同次関数についての理解が間違えているのでしょうか?
大変見辛くて恐縮ですが、回答のいただけたら幸いです。
よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

n次同次は、


y = f(x1, x2, ...)
という関数があったときに
k^n y = f(k x1, k x2, ...)
が常に成り立つときに言います。通常nは整数であり、経済学では特に0次と一次をよく使います。

さてご質問の
f(x, y, z) = (yz * x^2)^(1/3)
ですが、x, y, z を k 倍してみましょう。すると
f(k x, k y, k z) = k^(4/3) (yz * x^2)^(1/3)
となりますから、4/3 次同次であるという結論に達することが出来ます。

この回答への補足

ご回答ありがとうございました。
~次同次関数の理解について間違えてはいなかったようで安心しました。
ありがとうございました。

補足日時:2007/05/23 09:12
    • good
    • 1
この回答へのお礼

補足の欄にお礼を書いてしまいました。
申し訳ありません。

お礼日時:2007/05/23 09:15

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Qミクロ経済学。

ミクロ経済学。以下の問題を解いたのですが、間違っていたら指摘してください

空欄に適切な語句を入れよ。

所得が上昇したときに需要が減少する財を((1))、さらにその中でも価格が上昇した
ときに需要量が増加する財を((2))という。
均衡の安定分析には、時間の経過を考慮する((3))安定分析と、考慮しない((4))安定分析がある。
マーシャル的調整過程では、需要価格((5))供給価格ならば数量を増加させる。
エッジワースのボックスダイアグラムの中には((6))な点が多数存在し、それらの点をつないだ曲線を
((7))曲線と呼ぶ。
家計の効用最大化行動から得られる財の最適消費量は財価格と((8))の関数として求められる。
財の最適消費量が、財価格と((8))に依存しているのは我々が市場形態
として((9))市場を仮定しているからである。また、この関数の値は、財価格と((8))を同時にk>0倍しても変化せず、
、この関数についての性質は((10))同時性と呼ばれている。

解答
(1)下級財
(2)ギッフェン財
(3)動学的
(4)静学的
(5)>
(6)パレート最適
(7)契約
(8)所得
(9)完全競争
(10)わからない・・・解説お願いします

ミクロ経済学。以下の問題を解いたのですが、間違っていたら指摘してください

空欄に適切な語句を入れよ。

所得が上昇したときに需要が減少する財を((1))、さらにその中でも価格が上昇した
ときに需要量が増加する財を((2))という。
均衡の安定分析には、時間の経過を考慮する((3))安定分析と、考慮しない((4))安定分析がある。
マーシャル的調整過程では、需要価格((5))供給価格ならば数量を増加させる。
エッジワースのボックスダイアグラムの中には((6))な点が多数存在し、それらの点をつない...続きを読む

Aベストアンサー

(10)は「0次同次性」といいます。(同時ではなく、同次)。

一般に関数

   y = f(x1,x2,・・・,xn)

は 
   y = f(αx1,αx2,・・・,αxn)

が任意α>0に対して成り立つとき、関数f(・)は0次同次であるという。つまり、すべての独立変数をα倍していも、関数の値が変わらないとき0次同次というのです。ある財の需要関数とは、その財の需要量を(すべての)価格と所得を独立変数とする関数ですが、すべての価格と所得をα倍してもその財にたいする需要量は変わらないので、0次同次性を満たしているのです。

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なぜ需要のゼロ次同次性が成り立つのかについて、2財(正の2財、それぞれ財1財2と呼ぶ)の消費に関する予算線と無差別曲線および需要(最適消費バスケット)の変化について言及した上でこの理由を説明願います

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一次同時(次?)というのは、生産要素すべてがλ倍になったとき、生産量もλ倍になるという意味ですよね。
この一次同時と統計学を絡めた内容について質問なのですが、
もし、重回帰モデル
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僕が考えたのは、偏回帰係数は1単位xが増加したときどのくらいYが増加するのかなので、偏回帰係数が1に近いなら一次同時、1より小さい(大きい)なら収穫逓減(収穫逓増)なのではないか、というものです。
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Y=α+β1x1+β2x2
この回帰式のデータが生のデータなのなら、生産関数は明らかに一次同次ではないですね。
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x^3・sinxのn次導関数を求めたいんですけどやり方がよくわかりません。これはライプニッツの公式をつかうらしいんですけど…帰納法じゃできないんですか?あとよろしければライプニッツを使った解法もおしえてもらえればうれしいです。よろしくお願いします。

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合成関数の微分の公式
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から何回か微分を行い,結果なり関係式なりを適当に推測して,それを帰納法を使って証明する方法でも別に問題ありません.

ライプニッツの公式は,2項定理
(a+b)^n=Σ[k=0,n]C[n,k]a^k*b^(n-k) (C[n,k]はnCkのこと・・・掲示板では見にくいので)
の「微分バージョン」みたいなもので
D^(n)(fg)=Σ[k=0,n]C[n,k]D^(k)f*D(n-k)g (D^(k)はk階微分のこと)---(*1)
というように合成関数の微分公式をn階微分まで拡張したものです.この公式を使えば推測して帰納法で証明しなくても一気に結果を求めることができます.

とはいうものの,実際この公式を適用するためには(*1)の右辺を見ればわかるように,個々の関数fとgについての1~n階微分までの情報はあらかじめ知っている必要があります.
この問題では個々の関数の微分は下のように
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D^(n)(x^3*sin(x))=x^3*D^(n)(sin(x))+C[n,1]*3x^2*D^(n-1)(sin(x))+C[n,2]*6x*D^(n-2)(sin(x))+C[n,3]*6*D^(n-3)(sin(x))
となります.sin(x)の微分は(*2)よりまとめて
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とかけますので,
D^(n-1)(sin(x))=sin(x-nπ/2+π/2)=cos(x-nπ/2)
D^(n-2)(sin(x))=cos(x-nπ/2+π/2)=-sin(x-nπ/2)
・・・
のように変形しておけば,最終的に
D^(n)(x^3*sin(x))=x^3*sin(x-nπ/2)+3nx^2*cos(x-nπ/2)-3n(n-1)x*sin(x-nπ/2)-n(n-1)(n-2)*cos(x-nπ/2)
となることがわかります.

合成関数の微分の公式
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から何回か微分を行い,結果なり関係式なりを適当に推測して,それを帰納法を使って証明する方法でも別に問題ありません.

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の「微分バージョン」みたいなもので
D^(n)(fg)=Σ[k=0,n]C[n,k]D^(k)f*D(n-k)g (D^(k)はk階微分のこと)---(*1)
というように合成関数の微分公式をn階微分まで拡張したものです.この公式を使えば推測して帰納法...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qミクロ経済学 需要関数の特徴

ミクロ経済学の需要関数の特徴に関して質問です。

代替財の存在するq1の需要関数はがq1=p1^a*p2^b*m^cで表される時、a、b、cの関係式はどのように表されるか?

という問題があったのですが、解答はおそらくa+b+c=0になると予想している(他の練習問題の需要関数の形から推測してみました)のですが、その理由が分かりません。どなたかご教授お願いします。

Aベストアンサー

第1財、第2財の2財の世界を考えると、消費者の需要関数は予算制約のもとで効用の最大化から得られ、一般に

   q1= D(p1,p2, m)

と書ける。需要量q1は、すべての価格と所得p1、p2、mをλ倍しても、変わらない。ただし、λは任意の正の実数。すなわち、

   q1 = D(λp1,λp2,λm)

が成り立つ。これが成り立つことを関数Dはゼロ次同次関数であるという。この関係を、与えられた需要関数

q1=p1^a*p2^b*m^c

へ適用すればよい。つまり、

   q1 =(λp1)^a*(λp2)^b*(λm)^c
     = λ^(a+b+c)*p1^a*p2^b*m^c
     = λ^(a+b+c)*q1

よって、
   λ^(a+b+c) = 1

λは任意だから、これが成り立つための必要十分条件は

    a+b+c = 0

さらに、第1財と第2財は代替財だから、b>0であり、第1財が正常財(上級財)なら、m>0かつa<0が成り立つ。
需要関数はなぜゼロ次同次関数かであるかというと、消費者は予算制約

   p1q1 + p2q2 = m

のもとで効用を最大化する。いま、p1, p2, mが同時にλ倍されたとしよう。すると、予算制約は

   (λp1)q1 + (λp2)q2 = λm

すなわち、両辺をλで割ると、

    p1q1 + p2q2 = m

と予算制約には変化はない。よって、最適な消費も、すべての財の価格がある同一の割合で上昇(下落)しても所得が同じ割合だけ増える(減る)なら、変わらないことを示しているのだ。よって、いかなる財の需要量も、価格と所得が同じ割合で変化することによっては変化しないのだ(価格と所得の変化に関してゼロ次同次なのだ)。


   



    

第1財、第2財の2財の世界を考えると、消費者の需要関数は予算制約のもとで効用の最大化から得られ、一般に

   q1= D(p1,p2, m)

と書ける。需要量q1は、すべての価格と所得p1、p2、mをλ倍しても、変わらない。ただし、λは任意の正の実数。すなわち、

   q1 = D(λp1,λp2,λm)

が成り立つ。これが成り立つことを関数Dはゼロ次同次関数であるという。この関係を、与えられた需要関数

q1=p1^a*p2^b*m^c

へ適用すればよい。つまり、

   q1 =(λp1)^a*(λp2)^b*(λm)^c
     = λ^(a+b+c)*p...続きを読む

Q間接効用関数・・・関数Vで話がわかる人に聞きたいです!

間接効用関数のことについて、本には、「関数Vによって、消費者の効用はあたかも価格と所得から得られるかのように表現されている。もちろん消費者の効用は財の消費量に依存しており、価格と所得には間接的にしか依存していない。この意味で関数Vは間接効用関数とよばれる。」とあったのですが、この場合の『消費者の効用は財の消費量に依存しており』の部分の意味がわかりません。どうゆうことですか?

Aベストアンサー

例をあげて説明しましょう。

居酒屋に行って、「財」がビールと枝豆の2つだとしましょう。あなたの満足度(=効用)は、どれだけの量のビールと枝豆を消費するかに依存しますよね。これが御質問の文の意味です。この、消費量と効用の関係を直接表したのが、「効用関数」です。
 u(x,y)
x=ビールの消費量
y=枝豆の消費量

さて、あなたの予算が決まっていて、ビールと枝豆の値段が決まっていたとしましょう。するとあなたは予算の範囲内で、自分の効用を最大にするようにビールと枝豆の消費量をきめますよね。その結果、効用が得られます。つまり、予算と値段が決まれば、効用は決まるのです。この関係を表したのが「間接効用関数」です。

v(px,py,I)
px=ビールの値段、 py=枝豆の値段、
I=予算

ここでは、効用が、値段と予算の関数として表されていますが、その背後には、
(1)値段と予算が決まる→(2)最適な消費量を選択する→(3)効用が決まる
という関係があるのです。

Q2階の条件・・

1階の条件とか2階の条件とかって、いったいなんなんですか??わかる方詳しく教えてください!

Aベストアンサー

1階の条件,2階の条件にお答えします.

これは,極地問題であると考えます.
つまり,関数値の極大・極小(まとめて極値)となる値を求める問題です.

関数がy=f(x)であるとして,
f(x)が,x=aで極値をとり,その関数が微分可能であるとき,微分df(a)/dx=0 である.
そして,aの近傍(x≠a)で,関数fが微分可能であるとき,df/dx>0 (x<a) ,df/dx<0 (x<a)
ならば,f(x)はaで極大である.
また,逆にdf/dx<0 (x<a) ,df/dx>0 (x<a)
ならば,f(x)は,aで極小になる.

例題
y=-1/3x^2(xの二乗)+2x
の極値を求めなさい.

導関数を求めると,
dy/dx=-2/3x+2 である.
ここで,1階条件は,この導関数が0となることである.
よって,dy/dx=-2/3x+2 =0とする.
∴x=3 この点で関数は極値をとる.

しかし,これが,極大か極小か分からない場合もある.
(この問題の場合,元の式から,凹関数(上に凸な関数)であることは明白である.よって,X=3の時点で極大であることは分かってしまう.)

先の問題で考えると,
2階の条件として,dy/dx=-2/3x+2
をもう一度,xで微分する.
そうすると,
-2/3<0である.
これは,関数の形状が,上に凸(つまり山形)になっていることに他ならない.逆ならば,値は正で下に凸な関数であり,極値は最小値を与える.

このように,
1階条件で,極値を考え,2階条件でそれが,極大なのか,極小なのかを調べたわけである.

専門ではないですが,経済学で企業の利潤最大化行動
などを分析するのなどに使う常套手段であり,難しいものではありません.
やさしい経済数学の本など参考にしてみてはいかがでしょうか.

1階の条件,2階の条件にお答えします.

これは,極地問題であると考えます.
つまり,関数値の極大・極小(まとめて極値)となる値を求める問題です.

関数がy=f(x)であるとして,
f(x)が,x=aで極値をとり,その関数が微分可能であるとき,微分df(a)/dx=0 である.
そして,aの近傍(x≠a)で,関数fが微分可能であるとき,df/dx>0 (x<a) ,df/dx<0 (x<a)
ならば,f(x)はaで極大である.
また,逆にdf/dx<0 (x<a) ,df/dx>0 (x<a)
ならば,f(x)は,aで極小になる.

例題
y=-1/3...続きを読む

Q卒論でかなり文字数をオーバーしそうです

今大学4年で、卒論をやっている最中です。
ちなみに文系で、必修なのです。

大学の規定では「卒業論文の分量は、原則として、20000字以上とする」となっているのですが、こうゆう場合どの位書けばいいんですかね??
20000字以上なら構わないってことだとは思うんですが、かなり文字数をオーバーしそうなんです・・・・。2万字の3倍くらいになってしまうかもしれません↓
それって、ただ長いだけで読む方に失礼ですかね?
もっと削って2万字程度にした方がいいのでしょうか?

指導教諭の先生は「提出すれば何でも構わない」というだけで、詳しく教えてくれないのです。
けれど、せっかく卒論を書くのだから良いものを書きたいと思っています。
アドバイス・ご回答よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

まず、『何文字くらい書けばよいか』という間違った考えを捨ててください。
卒論として意味のある内容ならば、何文字でもよいのです。有名なDNAの螺旋構造の論文は2ページしかありません。

質問者様の学校では、卒論が「あまりにも薄いのはみっともない」というので最低文字数が決まっているのだと思います。というのも、「2万字以下だが内容の充実した論文」を大学4年生が書くことはほぼありえないからです。

ワープロ打ちだと1ページ1000文字くらいですから、2万文字だと20ページ。20ページというのははっきり言って、「薄い」卒論です。
50~100ページの卒論はそこらにごろごろしていますから、2万字の制限を3倍くらい越えたからといって気にすることはありません。

ただし、本当に意味のある6万文字かどうかはよく考えてください。
他人の著作の転載で文字数が増えているだけだったりして?

Q最適消費量の計算(二期間モデル)

下記の問題についてご教授願います。

2期間モデルを用いて、消費者の消費・貯蓄配分問題を考える。消費者は第1期にも第2期にも働いて、それぞれY₁≥0、Y₂≥0の実質賃金を得るとする。実質利子率r>0とし、消費者は第1期に貯蓄及び借入を行えるとする。消費者は異時点間の予算制約のもとで、第2期に得られる効用の和U(C₁,C₂)=u(c₁)+u(c₂)が最大となるように第1期の消費、第2期の消費の最適な水準を決定している。各期の効用関数は対数関数(u(C)=logC)であるとする。

問1 効用最大化問題より最適な資源配分が満たすべき条件を求めなさい。
問2 各期の最適な消費水準を決める消費関数C₁、C₂を求めなさい。
問3 「問2」で求めた消費関数を用いて、実質利子率が下落したとき、C₁、C₂がどのように変化するか説明しなさい。
問4 今、r=1/4、Y₁=200、Y₂=300であるとする。第1期、第2期の最適な消費水準を求めなさい。
問5 「問4」のもとで、借入制約の影響を考える。消費者が第1期に借入制約に直面し、借入を行えないとする。第1期、第2期の最適な消費水準を求めなさい。


以上の問題について、
ご教授のほど宜しくお願いいたします。
(「対数関数」と「借入ができる」という条件から導き方がよくわかりません。)
ご回答に長文を要求するような質問かもしれません。
お手数お掛けしますが、どうぞよろしくお願いいたします。

下記の問題についてご教授願います。

2期間モデルを用いて、消費者の消費・貯蓄配分問題を考える。消費者は第1期にも第2期にも働いて、それぞれY₁≥0、Y₂≥0の実質賃金を得るとする。実質利子率r>0とし、消費者は第1期に貯蓄及び借入を行えるとする。消費者は異時点間の予算制約のもとで、第2期に得られる効用の和U(C₁,C₂)=u(c₁)+u(c₂)が最大となるように第1期の消費、第2期の消費の最適な水準を決定している。各期の効用関数は対数関数(u(C)=logC)であるとする。

問1 効用最大化問題より...続きを読む

Aベストアンサー

質問を閉じていないということはまだ私の回答に理解できないところがあるということでしょうか?それなら、どこがよくわからないか、追加質問をすればよい。
もしかしたら、対数関数u(C) = log Cについてでしょうか?このlogは自然対数で常用対数ではありません。logの底(てい)は自然対数の底と呼ばれる、eであらわされる無理数です。常用対数(対数の底は10)と区別するためにlog Cの代わりにln C
と書くこともあります。自然対数関数u(C) = log Cを微分すると、
u'(C) = 1/C
となります。したがって、
U = log C1 + log C2ならば、これをC1,C2で偏微分するとそれぞれ
∂U/∂C1 =1/C1
∂U/∂C2 = 1/C2
となるから、限界代替率MRSは
MRS≡(∂U/∂C1)/(∂U/∂C2)=(1/C1)/(1/C2) = C2/C1
となります。これで数学的部分の疑問は解消したでしょうか?


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