出産前後の痔にはご注意!

  X銭回折で得られたピークの角度からブラッグの式で面間隔を求め、そこから指数付けをしようと思っていますが、どうしてもわかりません。どうすればいいのか教えてください。m(__)m
ちなみに次の面間隔とミラー指数の関係の式
    1/d^2=h^2/a^2+k^2/b^2+c^2/l^2
や、角度とミラー指数の関係の式
    sinθ^2=λ^2*(h^2/(4*a^2)+k^2/(4*b^2)+l^2/(4*c^2))
の式から求めることはできますか。実例を使って教えてください。また格子定数の求め方もできたら教えてください。
 ちなみに、試料はBi系酸化物超伝導体の2212相で結晶構造は斜方晶です。

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A 回答 (1件)

既知の物質でしたら、指数付けされている論文を当たるのが合理的でしょう。

Bi系の銅酸化物でしたら、

“Physical properties of Bi2Sr2Can-1CunOy (n=1, 2, 3)”; A. Maeda et al., Phys. Rev. B41 (1990) 6418-6434.

が2201や2223も載っていて便利です。
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Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む

Q格子定数の求め方教えてください!!

こんにちは。
僕は、結晶学を勉強している大学生です。
現在、斜方晶構造の格子定数を算出しようと勉強しているのですが格子定数a, b, cを求める式を作ることができません。ご存知の方教えて教えて下さい。
斜方晶の関係式は以下のようになります。
1/d^2 = h^2/a^2 + k^2/b^2 + l^2/c^2
d, h, k, lの値は既知でa=,b=,c=の式を教えていただきたいです。
また、格子定数を簡単に求められるソフトなどをお知りであれば教えて下さい。
どうかよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

> 格子定数a, b, cを求める式を作ることができません。

これは初等数学の教えるとおり,線形独立な(=異なる面方位の)3つ以上の関係がない限り,どうやっても求まりません。線形独立な式が3つあるなら,三元一次連立方程式を解けばよいだけです。

> 斜方晶の関係式は以下のようになります。

斜方晶だけでなく,正方晶でも立方晶でも成り立ちます。

> 格子定数を簡単に求められるソフト

XRD などのブラッグの回折パターンから格子定数を精密に求めるには,通常,リートベルト解析という計算を行います。RIETAN というソフトが有名です。ただ,大雑把で良くて,点群が分かっていて面指数まで分かっているなら,電卓で十分計算できると思います。

Qブラッグの式で使われるn次反射について

ブラッグの式で使われるn次反射についてお聞きしたいのですが、
nは1からあるようなのですが、いまいちn次反射についてわかりません。
n次反射について詳しく教えていただけないでしょうか?

Aベストアンサー

ブラックの反射式は
2d sin θ=nλ
(d:面間隔,θ:入射角,λ:波長)
ですね。
nは2d sinθが波長(λ)何個分に相当するかを示した数値です。そのままですね。
あるθ1とθ2で反射ピークを観測したとします。
その時、2d sin θ1=λ、2d sin θ2=2λ
を満たすとき、θ2に現れた反射ピークはθ1で観測した反射ピークの2次反射であるといいます。
高次反射は必ず発生しますが、nが大きくなればなるほど広角になるので反射強度が弱くなり観測が難しくなります。

余談ですが、このn値は逆格子上の指数?(h,k,lの最小公倍数の倍数)と一致します。X線主体の本はこれで説明することが多いようですが、実格子と逆格子を併用してイメージするのはかなり難しいと思います。逆格子は解析するには便利なツールですが、これで現象を理解する事はかなり難しいと思います。

QシリコンのXRDデータから面指数を求めるやり方

以下はSiのXRDのデータの一部です。このピークが面指数004からのものなのですが、その求め方を解説していただけないでしょうか。l(f),l(v)が何を意味しているのかはっきりとわからなかったのですが、他のピークとの強度の総対比を表してるのではないかなあと思います。
d(A), l(f), l(v), 2θ, θ, 1/(2d)
1.3577, 6, 14, 69.130, 34.565, 0.3683

X線はCuKα1で、波長λ=1.5406です。

このようなものを見積もるフリーソフト、Webデータベースがあると聞いたのですが、あるのでしょうか。

Aベストアンサー

>面指数(hkl)がなぜ、004となるかについてです。

(hkl)=(004)なのです。質問になってません。

>面間隔はd=1.3577 A, 2θは69.136です。格子定数は5.430Aです。XRDで試料を分析したとき、どのピークがどの面指数からのものかを決定する方法がわからなくて困ってます。


格子定数が5.430Aということは立方晶ですね?
その場合下記の計算になります。

逆格子ベクトル g=√(h^2+k^2+l^2)/a=0.7366
面間隔 d=1/g=1.3575
(こんな計算しなくても(001)が5.43だから5.43/4=1.3575でもいいですが)

2d sinθ=λ
θ=sin^-1(λ/2/d)=34.57
2θ=69.14

すなわち格子定数が分かっていれば2θは一意に求まります。

強度比は結晶構造因子やローレンツ因子などを計算しなくてはいけません。
下記サイトはXRDプロファイルを書いてくれます。
PDF(acrobatのほう)になって出力されます。demoでログインすれば良いでしょう。これで見ると28.5°くらいに最大ピークがありますね。反射の候補は以下があります。
h k l d
1 1 1 3.136
2 2 0 1.920
3 1 1 1.637

面間隔から2θ=28.5°は(111)反射なのでしょう。

JCPDSカードのd(A), l(f), l(v), 2θ, θ, 1/(2d)のリスト部を全て見せてくれれば、データの解釈は分かります。

参考URL:http://icsd.ccp14.ac.uk/icsd/

>面指数(hkl)がなぜ、004となるかについてです。

(hkl)=(004)なのです。質問になってません。

>面間隔はd=1.3577 A, 2θは69.136です。格子定数は5.430Aです。XRDで試料を分析したとき、どのピークがどの面指数からのものかを決定する方法がわからなくて困ってます。


格子定数が5.430Aということは立方晶ですね?
その場合下記の計算になります。

逆格子ベクトル g=√(h^2+k^2+l^2)/a=0.7366
面間隔 d=1/g=1.3575
(こんな計算しなくても(001)が5.43だから5.43/4=1.3575でもいいですが)

2d...続きを読む

Q格子定数教えてください!

LiF、Si、GaAs、NH4Br
の格子定数を知りたいのですが、教科書にもネットにも載ってなくて困っています。。教えていただけませんか??

Aベストアンサー

LiF 岩塩構造 a=4.02Å
Si ダイヤモンド構造 a=5.42
NH4Br CsCl構造 a=4.05
以上化学大辞典(共立出版)より。

GaAs 閃亜鉛鉱構造 a=5.65
http://www.crystals.jp/GaAs.html
より。

でした。

Q六方晶における格子面を(0001)と4桁で

3次元結晶の場合、格子の面や格子ベクトルは
3つの数字の組(001)などで確か全て表せます。

六方晶でも3つの数字の組で表せるのですが、4つの数字の組で表した方が理解しやすいので、この記法が使われることがあります。

4つの数字と3つの数字の関係はどうなりますか?
4つの数字には別の拘束条件がありそうですが、
いかがでしょうか?

このことについて書いてあるwebとか本をご存知ないですか? ちょっと探したけれど見つからなかったので。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

六方結晶の場合は(0001)というような表し方ですね。いわゆるc軸が4桁目になります。(h,k,l,m)の場合、h + k = -l の関係があります。

参考URLに出典例を書きましたが、"ミラー指数" "0001"で検索すると、関連ページが56件ありました。

参考URL:http://www.f-denshi.com/000okite/300crstl/304cry.html

Q面間隔の一般式からの各結晶格子の面間隔の導出

こんにちわ、固体物理やX線などの参考書にでてくるブラベー格子の面間隔について質問です。

参考書ででてくるd(hkl)=~~~ という式なのですが、この導出がゼミの範囲になってしまい、うまく導出できず教授にぼろカスに言われ今日この範囲から外されてしまいました。

いくつか参考書を当たってみたのですが見つからず、偶然ネットにあった下記のurlを参考にゼミを行いました。
http://ww7.enjoy.ne.jp/~nminami/physics/BUSSEI.PDF

特に(4-27)式から(4-30)式に行く過程がうまく導けませんでした。
また先ほど(4-27)式から(4-30)式を変形している時に思ったのですが、この単位胞の体積の求めかたは単斜晶などの、例えばx軸とz軸が垂直でない場合は使えないのではないかと思いました。

最後になりますが以上をふまえて質問させていただきます。
各結晶系の面間隔は上記urlから導出ができるのか、また別の簡単な方法があるのか
です。

理系なんだから自分で苦労して考えろよと思われると思いますが、なにとぞよろしくお願いいたします。

こんにちわ、固体物理やX線などの参考書にでてくるブラベー格子の面間隔について質問です。

参考書ででてくるd(hkl)=~~~ という式なのですが、この導出がゼミの範囲になってしまい、うまく導出できず教授にぼろカスに言われ今日この範囲から外されてしまいました。

いくつか参考書を当たってみたのですが見つからず、偶然ネットにあった下記のurlを参考にゼミを行いました。
http://ww7.enjoy.ne.jp/~nminami/physics/BUSSEI.PDF

特に(4-27)式から(4-30)式に行く過程がうまく導けませんでした。
また先ほど...続きを読む

Aベストアンサー

>この単位胞の体積の求めかたは単斜晶などの、例えばx軸とz軸が垂直でない場合は使えないのではないかと思いました。

どうしてそう思ったのか(例えばどこでx軸とz軸が垂直という条件を使ったと思ったのか)を書いてくれないと、気のせい・勘違いとしか言いようがありません。


>各結晶系の面間隔は上記urlから導出ができるのか、
計算のフォローはしていないですが、間違った事はしていないように思います。

>別の簡単な方法があるのか
格子定数で単位胞の体積がどう表されるのか、という事を考えるのであれば十分に簡単な方法だろうと思います。

Q格子面間角の求め方

任意の単位格子(一辺の長さがそれぞれa, b, c, 軸角がα, β, γ)において、格子面(結晶面)F1(h1,k1,l1)とF2(h2,k2,l2)の間にできる面角はどのように求めれば良いのでしょう?

*例えば、NaClの単位格子は立方晶系で a = b = c = 5.64 Å (α = β = γ = 90°)ですが、このときの結晶面(100)と(111)の間の面角は、54.73°、の求め方は?または立方晶系以外のときは?

Aベストアンサー

>この間、ここではどのような計算プロセスが行なわれているのでしょうか・・・
そんな事は、ソースを見ないと分からないので、求める方法が1つわかればいいですよね。(原理的にはa→等を成分計算すれば求められますが、ぞっとするほど面倒な計算だと思うのでそれとは違う方法で)

Arccos(|n1→・n2→|/|n1→||n2→|) (のArccosの中身)をa→・b→などの内積だけを用いて書くことができれば、こういう内積はa→・b→=abcosγと分かっているので、具体的に計算できますよね。

そこで、A,B,C,Dを3次元ベクトルとしたとき、一般に、
(A×B)・(C×D)=(A・C)(B・D)-(A・D)(B・C)
が成り立つ事を利用します。

n→=h b→×c→+k c→×a→+l a→×b→の形を見れば分かると思いますが、
Arccos(|n1→・n2→|/|n1→||n2→|)
にはこの形の内積しか出てきませんよね。より具体的には、
(a→×b→)・(a→×b→)
(a→×b→)・(a→×c→) 
の形のもの(およびa,b,cを入れ換えたもの)しか出てきません。上に書いた式を用いれば、それぞれ、
a^2b^2(sinγ)^2
a^2bc(cosα-cosβcosγ)
のように書くことができるので、Arccos(|n1→・n2→|/|n1→||n2→|)も具体的に求める事ができます。

※もし、具体的な式が知りたいのなら、ご自分で計算してください。

>この間、ここではどのような計算プロセスが行なわれているのでしょうか・・・
そんな事は、ソースを見ないと分からないので、求める方法が1つわかればいいですよね。(原理的にはa→等を成分計算すれば求められますが、ぞっとするほど面倒な計算だと思うのでそれとは違う方法で)

Arccos(|n1→・n2→|/|n1→||n2→|) (のArccosの中身)をa→・b→などの内積だけを用いて書くことができれば、こういう内積はa→・b→=abcosγと分かっているので、具体的に計算できますよね。

そこで、A,B,C,Dを3次元ベクトルとしたと...続きを読む

QX線回折(XRD)について

XRDのピークに(002)とか(004)とかたくさんのピークがありますよね。
それから格子定数を求めようと思っています。
2dsinθ=nλの式に当てはめますよね。
その時に(002)ピークから格子定数をもとめる場合と、(004)からピークを求める場合はnの値をそれぞれ2と4にすればいいんでしょうか?
あまり結晶構造のことは詳しくないので、誰か助けてください。

それとBi超伝導の2212相というのがありますよね?
たとえば(001)というピークがあれば、そこからすぐにcが求まりますよね。
でここで疑問に思ったのですが、Bi2212のXRDは、(00偶数)ピークしか出なかったと思います。なぜ偶数しか出ないのでしょうか?

Aベストアンサー

2dsinθ=nλと書いた場合のdは、面間隔であって格子定数ではありません、おそらく。
上の式は、面間隔がdの反射面(h k l)によるn次のブラッグ反射と読みます。
または、
2(d/n)sinθ=λ
と書き換え、面間隔が(d/n)の反射面(nh nk nl)による1次のブラッグ反射と読みます。
格子定数とは、ブラベー格子を表記するために必要な値のことで、平行六面体の3つの辺の長さと、それらのなす3つの角からなります。ブラベー格子の対称性が上がるとこのパラメータの数は少なくなり、立方晶系の場合は、1つ辺の長さのみであらわします。
よって立方晶系の場合は、格子定数aと面間隔d'のhkl反射には
d'=a/√(h^2+k^2+l^2)
という関係があるので、
a=λ√(h^2+k^2+l^2)/(2sinθ)
となります。
128yenさんの場合、立方晶系の002反射であれば、h=0,k=0,l=2を代入ということになり、結果として、
「nの値をそれぞれ2と4にすればいい」ということになります。

Bi2212については、私はその晶系がわかりませんのでなんともいえませんが、幾何学的な条件が上記の式に結果的に合致するのであればいいのですかねぇ~(謎)


消滅則については、結晶構造の対称性が重要なポイントになります。Bi2212の結晶対称性が、00偶数反射のみ出すようなものなのでしょうか。消滅則とは、体心立方構造の場合は、h+k+l=奇数の時は反射出ないというアレです。各空間群の対称性は、International Tables for X-ray Crystallography の第一巻をに書いてありますので、参考までに。

2dsinθ=nλと書いた場合のdは、面間隔であって格子定数ではありません、おそらく。
上の式は、面間隔がdの反射面(h k l)によるn次のブラッグ反射と読みます。
または、
2(d/n)sinθ=λ
と書き換え、面間隔が(d/n)の反射面(nh nk nl)による1次のブラッグ反射と読みます。
格子定数とは、ブラベー格子を表記するために必要な値のことで、平行六面体の3つの辺の長さと、それらのなす3つの角からなります。ブラベー格子の対称性が上がるとこのパラメータの数は少なくなり、立方晶系の場合は、1つ辺の長さのみであ...続きを読む

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。


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