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有限集合の定義は
「Aが無限集合⇔ A⊃∃B:真部分集合 such that Map(A,B)∋∃f:全単射」
の否定
「Aが有限集合⇔ A⊃∀B:真部分集合 に対しても Map(A,B)∋f:全単射 は存在しない」
ですよね。
これから
「集合Xが有限集合⇒∃n∈N such that Map(X,{1,2,…n})∋∃f:全単射」
がどうやって導き出せるのでしょうか?

A 回答 (5件)

No.1です。



“有限集合”の定義の「数える」や「有限個」は、日常で使うような常識的な意味として使っています。だから、(2)も一応、言っといた方がよいかなぁと思ったんです。


matsui888さんが書いたように

Xは“有限集合”⇔∃n∈N such that Map(X,{1,2,…n})∋∃f:全単射

と定義すれば、(2)は不要です。
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「A⊃∀B:真部分集合 に対しても Map(A,B)∋f:全単射 は存在しない」



「∀B⊆A(B≠A → ¬∃f∈Map(A,B) fは単射)」
「∀B⊆A(∃f∈Map(A,B) fは単射 → B=A)」
と同じです。

A≠空 とする。

a_0,…,a_n,… を次のように定義する。
a_0=Aの元
a_{n+1}=A\{a_0,…,a_n} の元(A\{a_0,…,a_n}≠空 のとき)
a_{n+1}=a_0 (A\{a_0,…,a_n}=空 のとき)

f∈Map(A,A)を次のように定義する。
f(a_k)=a_{k+1}
f(x)=x (∀k(x≠a_k) のとき)

B={f(x)|x∈A} とする。

Aが有限でも無限でも,f∈Map(A,B) は(全)単射である。
Aが有限 ⇔ B=A

注:Aが有限のとき,fの定義が,あるnについて f(a_n)=a_{n+1}=a_0 で終わる。
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ごめんなさいNo.2の回答の集合Aは集合Xにかえる必要があります。

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No.1です。


(1)で、Xが有限集合「A⊃∀B:真部分集合 に対しても Map(A,B)∋f:全単射 は存在しない」⇒Xは“有限集合”「集合Xの元の個数を数えてその数が有限個」 を導き、

(2)で、Xが“有限集合”「集合Xの元の個数を数えてその数が有限個」⇒∃n∈N such that Map(X,{1,2,…n})∋∃f:全単射  を導いたので


(1)、(2)より
Xが有限集合「A⊃∀B:真部分集合 に対しても Map(A,B)∋f:全単射 は存在しない」⇒∃n∈N such that Map(X,{1,2,…n})∋∃f:全単射

が導けたと思うのですが。
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この回答へのお礼

ご回答有難うございます。

やっと意味が分かりました。
所で、「集合Xの元の個数を数えてその数が有限個の場合」の部分('数える'と'有限個'の定義)はどのように定義されているのでしょうか?
つまり、“有限集合”の定義を記号と数式で表すとどのように書けるのでしょうか?

恐らく、
Xは“有限集合”⇔∃n∈N such that Map(X,{1,2,…n})∋∃f:全単射
が“有限集合”の定義だと推測します。
すると(2)は不要なのではないかと疑問に思ったのですが…

お礼日時:2007/06/02 18:16

ちょっと紛らわしくなるので、次のように約束しておきます。



「集合Xの元の個数を数えてその数が有限個の場合、Xは“有限集合”と呼ぶことにする。そうでない場合、Xは“無限集合”と呼ぶことにする。空集合は元の個数が0個として“有限集合”として約束します。」

これから、無限集合、有限集合、“有限集合”、“無限集合”という言葉を区別して用います。

方針としては
(1)Xが有限集合⇒Xは“有限集合” をまず示し、
(2)Xが“有限集合”⇒⇒∃n∈N such that Map(X,{1,2,…n})∋∃f:全単射 を示します。

(1)背理法で示す。仮にXが有限集合であるにも関わらず、Xが“有限集合”でない。すなわちXが“無限集合”であると仮定する。
Xが空集合でないのでXの元が存在する。これをa1と記すことにする。次に、X\{a1}が“無限集合”であることに注意します。(なぜなら、X\{a1}が“有限集合”だとすると、Xも“有限集合”となってしまうから)
次にX\{a1}の元をa2と記すことにする。すると、X\{a1,a2}も“無限集合”。
以下、この操作を繰り返すと任意の自然数nに対し、X\{a1,a2,…an}が“無限集合”であることがわかります。(正確には帰納法で示す。)
一般にX\{a1,a2,…an}の元をan+1と書いてやれば、
{a1,a2,…an,…}⊂Xがわかります。(ここでa1,a2,…の元の指定に対し選択公理が使われています。)
写像fを次のように定義します。
f:X→X\{a1} , X∋x≠aiならf(x)=x , X∋x=aiなら、f(ai)=ai+1 (i=1,2,…)
すると、fは全単射であることがわかります。(証明は、はしょります。)
よって、XとXの真部分集合X\{a1}の間に全単射があるので、Xは無限集合となります。これは、Xが有限集合であることに矛盾。よって、Xは“有限集合”。

(2)Xが“有限集合”とする。元の個数が有限個なので、Xの元をa1,a2,…と記していき、
X={a1,a2,…,an}とする。(元の個数が有限個なのでこのように書ける。)

写像gをg(ai)=iと定義すれば明らかに全単射となる。
したがって、∃n∈N such that Map(X,{1,2,…n})∋∃f:全単射は成立。
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この回答へのお礼

ご回答有難うございます。

> ちょっと紛らわしくなるので、次のように約束しておきます。
「Aが有限集合⇔ A⊃∀B:真部分集合 に対しても Map(A,B)∋f:全単射 は存在しない」
という定義から導き出す事は出来ないのでしょうか?

お礼日時:2007/05/25 19:36

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