因数分解

Question

x＾2(y+z)+y＾2(x+z)+z＾2(y+x)+3xyzを因数分解するのですが、展開して、x＾2y+x＾2z+y＾2z+y＾2x+z＾2x+z＾2y+3xyz
＝x(xy+xz+y＾2+z＾2)+y＾2z+z＾2y+3xyz
となりますが、ここから進めません。アドバイスをお願いします。

kkkk2222 · Accepted Answer

P=(x＾2)(x+y+z-x)+(y＾2)(x+y+z-y)+(z＾2)(x+y+z-z)+3xyz
=(x+y+z)(x＾2)-(x＾3)+(y＾2)(x+y+z)-(y＾3)+(z＾2)(x+y+z)-(z＾3)+3xyz
=(x+y+z)((x＾2)+(y＾2)+(z＾2))-((x＾3)+(y＾3)+(z＾3)-3xyz)
=(x+y+z)((x＾2)+(y＾2)+(z＾2))-(x+y+z)(((x＾2)+(y＾2)+(z＾2))-xy-yz-zx)
=(x+y+z)(xy+yz+zx)
------------
他の解法としは全体が対称式なので、(x+y+z)が因数と予想して、
Ｐ（x）＝x＾2(y+z)+y＾2(x+z)+z＾2(y+x)+3xyz　とみて
Ｐ（ーｙ－ｚ）＝・・・・・・＝０を確認し、
強引に、全体を(x+y+z)で割るのも可能と。

nekochari · Answer

まず#1の回答の方の方法でやるとこうなります。

基本方針は、一番次数の低い文字に着目して、その文字の降べきの順に整理します。
ここでは、どの文字も次数は一緒ですので、どの文字に着目しても同じです。
そこで、x に着目して整理してみます。

x^2 の項は、既に整理されている状態で、展開する必要はありませんね。
(y + z)x^2

x の項は、展開して整理して、こうなります。
(y^2 + z^2 + 3yz)x
={ (y + z)^2 + yz} x

x を含まない項は、展開して整理するとこうなります。
(y^2)z + y(z^2)  カッコは、^ の範囲を明示するために念のため入れてあります。
=(y + z)yz

　さて、次の方針は、これが x の２次式の因数分解であることから、たすき掛けで因数分解を試みます。

　１　　　ｙ＋ｚ　　　　（ｙ＋ｚ）ｚ
ｙ＋ｚ　　ｙｚ　　　　　　ｙｚ
－－－－－－－－－－－－－－－－－－
ｙ＋ｚ　（ｙ＋ｚ）ｙｚ　

　これでめでたく因数分解できました。
　与式 = (x + y + z)( (y + z)x + yz)
 = (x + y + z)( xy + yz + zx)

　なお、この因数分解のもっともエレガントな解法は次の通りです。

　与式 
= {x(xy + zx) + xyz} + {y(yz + xy) + xyz} + {z(zx + yz) + xyz}
↑この変形がポイントで、
　（１）x^2 のうちの x 一個だけを括弧の中に掛ける。y,zについても同様
　（２）3xyz を各項に１つずつ配分する。
ということをやっています。

= x(xy + yz + zx) + y(xy + yz + zx) + z(xy + yz + zx)
= (x + y + z) (xy + yz + zx)

Mr_Holland · Answer

別の解法としては、x,y,zの3次の対称式であることを利用して解く方法があります。
　対称式の場合、x+y+z, xy+yz+zx, xyzだけで表すことができます。
　次数は3なので、3次の対称式は、(x+y+z)^3、(x+y+z)(xy+yz+zx)、xyzに係数を掛けたもので表されます。つまり、
　　A(x+y+z)^3+B(x+y+z)(xy+yz+zx)+Cxyz
で表されます。そこで、この式を展開して与式と係数を比較すると、
　　A=1, B=C=0
が得られます。つまり、＃２さんの答えになります。

redowl · Answer

(x+y+z) (xy+yz+zx)

bilateraria165 · Answer

うーん、お考えになったやり方でちゃんと因数分解できるかわかりませんが、
経験者としてアドバイスさせていただくと、文字の多い多項式の因数分解は例えば、xの2乗の項、xの1乗の項、xに関係しない項、と整理して、それぞれの係数を比較しながらまとめていくのが、面倒だけど確実なように思えます。

因数分解

まず#1の回答の方の方法でやるとこうなります。

別の解法としては、x,y,zの3次の対称式であることを利用して解く方法があります。

P=(x＾2)(x+y+z-x)+(y＾2)(x+y+z-y)+(z＾2)(x+y+z-z)+3xyz

(x+y+z) (xy+yz+zx)

うーん、お考えになったやり方でちゃんと因数分解できるかわかりませんが、

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　別の解法としては、x,y,zの3次の対称式であることを利用して解く方法があります。