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距離化可能で可分な位相空間は第2可算公理を満足するというのがイマイチ
ピンとこないのですが、どなたか分かる方いらっしゃいませんでしょうか??
ヒントでもいいので教えてください。
後、同様に位相のことなのですが、Rは通常の位相に関して可分であると
いうのもよく分かりません。どうか、よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

この事実についてはどのような本で知ったのでしょうか。

基本的な位相数学の
教科書なら証明も書いてあると思いますが。また2つ目の質問は通常の位相数学の
教科書なら必ず例が載っていると思いますが。
とりあえず証明を

距離化可能で可分な位相空間をXとします。距離化可能ですから最初からXは距離空間
と考えて構いません。そこで、各点x∈X の近傍U_ε (x)は
U_ε(x) = { y ∈ X : | x - y | < ε, ε> 0 }
と書けます。

Xが可分と言うのは、Xのある可算集合で稠密なものがとれるということです。
このような集合をAとします。Aは可算なのでA={a_i }(i= 1,2,3 …)と書けます。
このとき各a_i を中心とする半径 1/mの開球 U_(1/m) ( a_i)全体の集合
S={ U_(1/m) ( a_i) : i,m は自然数 }
が第二可算公理を満たします。以下はそのことを証明します。

Sが可算集合であることは自明ですね。さらにSがXの開基であることを言う必要が
ありますがそれはXの任意の開集合の任意の点 x に対して、x を含み、その開集合に
含まれるようなSの要素が存在することをいえば良いのです。

さて任意の開集合O⊂X をとり、x ∈ O を一つ選びます。Oは開集合ですから、
x の近傍でOに含まれるものをとることが出来ます。
先に書いたように x の任意の近傍は、ある正数εにより x から距離ε以下の点の集合
U_ε(x) として表せます。そこでいま U_ε(x) ⊂ O とします。
次に 1/n < ε/2 となるような n を選びます。A は稠密ですから、Aの中から x との距離が
1/n 未満であるような点 a_j をとることが出来ます。すなわち
|x - a_j | < 1/n
です。このとき a_j を中心とする半径 1/n の開球 U_(1/n) ( a_i) はxを含んでおりかつ
U_ε(x)に含まれます。
x ∈ U_(1/n) ( a_i) ⊂ U_ε(x) ⊂ O
そして U_(1/n) ( a_i) ∈ S ですから SがXの開基であることが示せました。 ■

2つめについては有理数全体の集合Qが可算集合でありRの中で稠密であることを
思い出していただければすぐわかると思います。

わかりにくければ補足質問をして下さい。
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この回答へのお礼

ほんと、丁寧な説明を頂きまして感謝しております。
(うちの先生よりも分かりやすい・・)
ありがとうございました。

これは、内田先生といった方が書かれた参考書を勉強していて、問題を
見つけたのですが、解答がかなり簡易で私のおつむでは全く理解が出来
なかったのです。これはかなり良い本とうちの先生は言っていたのですが、
そうなのですか??ちょっと疑問・・。

2つめに関しても、ちょっと出来そうな感じ(?)がしてきました。
とにかく、やってみます。
本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/01/20 22:25

うわ。

位相線形空間ですね。この世界って、どっぷり浸かるとトリップしますよね。
ええと、
●距離化可能ってのは、位相線形空間の位相をノルムで与えることが出来るという意味。
●寡聞にして「可分」て知りませんが、たぶん「分離可能」の事。1点からなる集合が閉である空間の事で、つまり∩{零要素の全ての近傍} が零要素以外の点を含まない。(そうじゃないのを考える方がしんどくないです?)
●第二可算公理てのは、可算基底を持つ位相空間のこと。高々可算個の開集合からなる基底が存在するってこと。
●基底ってのは開集合の集合であって、全ての開集合を基底の要素の(無限)合併集合として表せるようなもの。
そして、距離空間の場合「可算基底を持つ⇔至る所稠密な可算集合が存在する」ですよね。だから「分離可能→至る所稠密な可算集合が存在する」を示せば良いわけです。で、どうするんだろ。

これじゃあヒントもになってへんがな..... やっぱりゴールデンスタンダードはコルモゴロフ,フォーミン「函数解析の基礎」じゃないでしょうか。どうもいーかげんですいません。
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この回答へのお礼

ほんと、トリップしている状態です・・(苦笑)

ありがとうございます。参考になります。
(ぜんぜんいいかげんではありませんよ!)
もう1度勉強やり直さなければ・・と日々感じております。

ああ、頭が良くなりたい・・。

お礼日時:2001/01/20 22:17

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