距離化可能で可分な位相空間は第2可算公理を満足するというのがイマイチ
ピンとこないのですが、どなたか分かる方いらっしゃいませんでしょうか??
ヒントでもいいので教えてください。
後、同様に位相のことなのですが、Rは通常の位相に関して可分であると
いうのもよく分かりません。どうか、よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

この事実についてはどのような本で知ったのでしょうか。

基本的な位相数学の
教科書なら証明も書いてあると思いますが。また2つ目の質問は通常の位相数学の
教科書なら必ず例が載っていると思いますが。
とりあえず証明を

距離化可能で可分な位相空間をXとします。距離化可能ですから最初からXは距離空間
と考えて構いません。そこで、各点x∈X の近傍U_ε (x)は
U_ε(x) = { y ∈ X : | x - y | < ε, ε> 0 }
と書けます。

Xが可分と言うのは、Xのある可算集合で稠密なものがとれるということです。
このような集合をAとします。Aは可算なのでA={a_i }(i= 1,2,3 …)と書けます。
このとき各a_i を中心とする半径 1/mの開球 U_(1/m) ( a_i)全体の集合
S={ U_(1/m) ( a_i) : i,m は自然数 }
が第二可算公理を満たします。以下はそのことを証明します。

Sが可算集合であることは自明ですね。さらにSがXの開基であることを言う必要が
ありますがそれはXの任意の開集合の任意の点 x に対して、x を含み、その開集合に
含まれるようなSの要素が存在することをいえば良いのです。

さて任意の開集合O⊂X をとり、x ∈ O を一つ選びます。Oは開集合ですから、
x の近傍でOに含まれるものをとることが出来ます。
先に書いたように x の任意の近傍は、ある正数εにより x から距離ε以下の点の集合
U_ε(x) として表せます。そこでいま U_ε(x) ⊂ O とします。
次に 1/n < ε/2 となるような n を選びます。A は稠密ですから、Aの中から x との距離が
1/n 未満であるような点 a_j をとることが出来ます。すなわち
|x - a_j | < 1/n
です。このとき a_j を中心とする半径 1/n の開球 U_(1/n) ( a_i) はxを含んでおりかつ
U_ε(x)に含まれます。
x ∈ U_(1/n) ( a_i) ⊂ U_ε(x) ⊂ O
そして U_(1/n) ( a_i) ∈ S ですから SがXの開基であることが示せました。 ■

2つめについては有理数全体の集合Qが可算集合でありRの中で稠密であることを
思い出していただければすぐわかると思います。

わかりにくければ補足質問をして下さい。
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この回答へのお礼

ほんと、丁寧な説明を頂きまして感謝しております。
(うちの先生よりも分かりやすい・・)
ありがとうございました。

これは、内田先生といった方が書かれた参考書を勉強していて、問題を
見つけたのですが、解答がかなり簡易で私のおつむでは全く理解が出来
なかったのです。これはかなり良い本とうちの先生は言っていたのですが、
そうなのですか??ちょっと疑問・・。

2つめに関しても、ちょっと出来そうな感じ(?)がしてきました。
とにかく、やってみます。
本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/01/20 22:25

うわ。

位相線形空間ですね。この世界って、どっぷり浸かるとトリップしますよね。
ええと、
●距離化可能ってのは、位相線形空間の位相をノルムで与えることが出来るという意味。
●寡聞にして「可分」て知りませんが、たぶん「分離可能」の事。1点からなる集合が閉である空間の事で、つまり∩{零要素の全ての近傍} が零要素以外の点を含まない。(そうじゃないのを考える方がしんどくないです?)
●第二可算公理てのは、可算基底を持つ位相空間のこと。高々可算個の開集合からなる基底が存在するってこと。
●基底ってのは開集合の集合であって、全ての開集合を基底の要素の(無限)合併集合として表せるようなもの。
そして、距離空間の場合「可算基底を持つ⇔至る所稠密な可算集合が存在する」ですよね。だから「分離可能→至る所稠密な可算集合が存在する」を示せば良いわけです。で、どうするんだろ。

これじゃあヒントもになってへんがな..... やっぱりゴールデンスタンダードはコルモゴロフ,フォーミン「函数解析の基礎」じゃないでしょうか。どうもいーかげんですいません。
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この回答へのお礼

ほんと、トリップしている状態です・・(苦笑)

ありがとうございます。参考になります。
(ぜんぜんいいかげんではありませんよ!)
もう1度勉強やり直さなければ・・と日々感じております。

ああ、頭が良くなりたい・・。

お礼日時:2001/01/20 22:17

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>開区間全体として可算となりえるのでしょうか
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はじめまして。
数学科の学生です。
位相空間のテストを間近に控え勉強しています。

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P107[3-4]
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この問題が分かりません。
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なお、第一可算公理が成り立って可分でも第二可算公理が成り立たないこともあります。ANo.2に書かれたゾルゲンフライ直線(Sorgenfrey line)がその例です。ゾルゲンフライ直線は実数に半開区間からなる位相を入れたもので、色々と変な性質を持っているので位相空間論ではよく出てきます。覚えておいて損はないでしょう。
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普通に考えると、すべての点が内点である部分集合全体の集合をGとす
ればよいです。

部分集合Uの点pが内点であるとは、pのある近傍{p'|d(p',p)<ε}が
Uに含まれることです。

開集合族の定義を満たすかどうか・・・

φ∈Gは「p∈φ⇒∃ε>0:{p'|d(p',p)<ε}⊂φ」が成り立つかどうか
ですが、仮定の部分が偽なので、これは正しいことになります。
よってφ∈G
X∈Gは明らかでしょう。

U1,…Un∈Gとすると、p∈U1∩…∩Unならば、任意のi=1,…,nに対して
p∈Uiなので、{p'|d(p',p)<εi}⊂Uiとなるεi>0が選べて、この中の
最小のものをεとすれば、これは有限個の正数の最小値なのでε>0
であり、任意のi=1,…,nに対して{p'|d(p',p)<ε}⊂Uiとなり、したが
って、{p'|d(p',p)<ε}⊂U1∩…∩Un。すなわち、pはU1∩…∩Unの
内点であり、pは任意なのでU1∩…∩Un∈Gです。

{Ui|i∈I}⊂G(Iは添え字の集合で、可算である必要はない。)とし
て、p∈∪(i∈I)Uiとすると、あるj∈Iに対してp∈Ujであり、pのある
近傍がUjに含まれ、Uj⊂∪(i∈I)Uiなので∪(i∈I)Uiにも含まれる
ことがわかり、したがってpは∪(i∈I)Uiの内点で、∪(i∈I)Ui∈G。

無限個の共通集合は開集合になるとは限らないのは、上のεiの最小値
を考えるところで、無限個の正数の最小値が存在するとは限らないこ
とからわかると思います。

普通に考えると、すべての点が内点である部分集合全体の集合をGとす
ればよいです。

部分集合Uの点pが内点であるとは、pのある近傍{p'|d(p',p)<ε}が
Uに含まれることです。

開集合族の定義を満たすかどうか・・・

φ∈Gは「p∈φ⇒∃ε>0:{p'|d(p',p)<ε}⊂φ」が成り立つかどうか
ですが、仮定の部分が偽なので、これは正しいことになります。
よってφ∈G
X∈Gは明らかでしょう。

U1,…Un∈Gとすると、p∈U1∩…∩Unならば、任意のi=1,…,nに対して
p∈Uiなので、{p'|d(p',p)<εi}⊂Uiとなるεi>0が選べて、この中の
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Qsomeは可算不可算名詞両方につけられるんですか?

someは可算不可算名詞両方につけられるんですか?他に可算不可算両方につけられるものはありますか?ちなみにsomeは形容詞ですよね?

Aベストアンサー

はい、Give me some water.=少し水をくれ、のようにもつかいます。
このように、名詞の前につかうのは形容詞です。
(他に、代名詞、副詞の用法もあります)

anyも不可算名詞の前に使います。

Q命題「Y⊂X:Txを位相とする位相空間の時、X:Hausdorff⇒Y:Hausdorff」

『位相空間(X,T)がHausdorff空間

X∋∀x,y:相異なる,
∃S1,S2 such that S1∈NS(x,T),S2∈NS(y,T),S1∩S2=φ
NS(x,T):={S∈T;x∈S}:近傍系』

という定義の元に

命題
「Y⊂X:Txを位相とする位相空間
の時、
X:Hausdorff⇒Y:Hausdorff」

を示したいのです。
これは厳密に述べると

「XがHaudorff空間をなすならばYも独自の位相Tyを持ち、位相空間(Y,Ty)は
『Y∋∀x,y:相異なる,
∃S1,S2 such that S1∈NS(x,Ty),S2∈NS(y,Ty),S1∩S2=φ
NS(x,Ty):={S∈Ty;x∈S}』をなす」

という事ですよね。

で、実際に示してみますと

もし、Y=φの時は勿論、Y:Hausdorff
Y≠φの時は
Y∋∀x1,x2:相異なる
∃S1∈NS(x1,Tx),S2∈NS(x2,Tx) such that S1∩S2=φ
S1':=S1/Y,S2':=S2/Yと置くと、S1'∩S2'=φ
、、、とここまでは分かるのですが
更に
S1',S2'∈Ty(:集合Yにおける位相)
でなければHausdorff空間をなしませんよね。
Tyはどのように定義すればいいのでしょうか?

『位相空間(X,T)がHausdorff空間

X∋∀x,y:相異なる,
∃S1,S2 such that S1∈NS(x,T),S2∈NS(y,T),S1∩S2=φ
NS(x,T):={S∈T;x∈S}:近傍系』

という定義の元に

命題
「Y⊂X:Txを位相とする位相空間
の時、
X:Hausdorff⇒Y:Hausdorff」

を示したいのです。
これは厳密に述べると

「XがHaudorff空間をなすならばYも独自の位相Tyを持ち、位相空間(Y,Ty)は
『Y∋∀x,y:相異なる,
∃S1,S2 such that S1∈NS(x,Ty),S2∈NS(y,Ty),S1∩S2=φ
NS(x,Ty):={S∈Ty;x∈S}』をなす」

という事ですよね。

で、実際に示...続きを読む

Aベストアンサー

>S1':=S1/Y,S2':=S2/Yと置くと、S1'∩S2'=φ

S1/Y とか S2/Y って何ですか?
スラッシュの意味です

それと,位相空間Xの部分集合Yに位相をいれる方法は
ご存知ですか?
「相対位相」をご存知ですか?

>Yも独自の位相Tyを持ち、
この「独自の位相」が問題です.

おおもとのXと全く関係ない位相をYにいれたら
XがHausdorffでもYはそうなるとは限りません.
例:R:普通の実数(距離による位相をいれる)
区間I=[0,1]:一番粗い位相(Iそのものと空集合だけの位相)をいれる
IはRの部分集合,RはHausdorff,Iには「独自の位相」があるが
IはHausdorffではない.


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