位相について

距離化可能で可分な位相空間は第２可算公理を満足するというのがイマイチ
ピンとこないのですが、どなたか分かる方いらっしゃいませんでしょうか??
ヒントでもいいので教えてください。
後、同様に位相のことなのですが、Ｒは通常の位相に関して可分であると
いうのもよく分かりません。どうか、よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： oodaiko 回答日時： 2001/01/20 21:47

この事実についてはどのような本で知ったのでしょうか。

基本的な位相数学の
教科書なら証明も書いてあると思いますが。また２つ目の質問は通常の位相数学の
教科書なら必ず例が載っていると思いますが。
とりあえず証明を

距離化可能で可分な位相空間をＸとします。距離化可能ですから最初からＸは距離空間
と考えて構いません。そこで、各点x∈Ｘ の近傍Ｕ_ε (x）は
Ｕ_ε(x) = { y ∈ Ｘ ： | x － y | ＜ ε, ε＞ 0 }
と書けます。

Ｘが可分と言うのは、Ｘのある可算集合で稠密なものがとれるということです。
このような集合をAとします。Aは可算なのでA＝｛a_i }（i= 1,2,3 …）と書けます。
このとき各a_i を中心とする半径 1/mの開球 Ｕ_(1/m) ( a_i)全体の集合
Ｓ＝｛ Ｕ_(1/m) ( a_i) ： i,m は自然数 ｝
が第二可算公理を満たします。以下はそのことを証明します。

Ｓが可算集合であることは自明ですね。さらにＳがＸの開基であることを言う必要が
ありますがそれはＸの任意の開集合の任意の点 x に対して、x を含み、その開集合に
含まれるようなＳの要素が存在することをいえば良いのです。

さて任意の開集合Ｏ⊂Ｘ をとり、x ∈ Ｏ を一つ選びます。Ｏは開集合ですから、
x の近傍でＯに含まれるものをとることが出来ます。
先に書いたように x の任意の近傍は、ある正数εにより x から距離ε以下の点の集合
Ｕ_ε(x) として表せます。そこでいま Ｕ_ε(x) ⊂ Ｏ とします。
次に 1/n ＜ ε/2 となるような n を選びます。A は稠密ですから、Aの中から x との距離が
1/n 未満であるような点 a_j をとることが出来ます。すなわち
|x － a_j | ＜ 1/n
です。このとき a_j を中心とする半径 1/n の開球 Ｕ_(1/n) ( a_i) はxを含んでおりかつ
Ｕ_ε(x)に含まれます。
x ∈ Ｕ_(1/n) ( a_i) ⊂ Ｕ_ε(x) ⊂ Ｏ
そして Ｕ_(1/n) ( a_i) ∈ Ｓ ですから ＳがＸの開基であることが示せました。 ■

２つめについては有理数全体の集合Ｑが可算集合でありＲの中で稠密であることを
思い出していただければすぐわかると思います。

わかりにくければ補足質問をして下さい。

この回答へのお礼

ほんと、丁寧な説明を頂きまして感謝しております。
(うちの先生よりも分かりやすい・・)
ありがとうございました。

これは、内田先生といった方が書かれた参考書を勉強していて、問題を
見つけたのですが、解答がかなり簡易で私のおつむでは全く理解が出来
なかったのです。これはかなり良い本とうちの先生は言っていたのですが、
そうなのですか??ちょっと疑問・・。

2つめに関しても、ちょっと出来そうな感じ(?)がしてきました。
とにかく、やってみます。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2001/01/20 22:25

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2001/01/20 21:40

うわ。

位相線形空間ですね。この世界って、どっぷり浸かるとトリップしますよね。
ええと、
●距離化可能ってのは、位相線形空間の位相をノルムで与えることが出来るという意味。
●寡聞にして「可分」て知りませんが、たぶん「分離可能」の事。１点からなる集合が閉である空間の事で、つまり∩｛零要素の全ての近傍｝ が零要素以外の点を含まない。（そうじゃないのを考える方がしんどくないです？）
●第二可算公理てのは、可算基底を持つ位相空間のこと。高々可算個の開集合からなる基底が存在するってこと。
●基底ってのは開集合の集合であって、全ての開集合を基底の要素の（無限）合併集合として表せるようなもの。
そして、距離空間の場合「可算基底を持つ⇔至る所稠密な可算集合が存在する」ですよね。だから「分離可能→至る所稠密な可算集合が存在する」を示せば良いわけです。で、どうするんだろ。

これじゃあヒントもになってへんがな..... やっぱりゴールデンスタンダードはコルモゴロフ,フォーミン「函数解析の基礎」じゃないでしょうか。どうもいーかげんですいません。

この回答へのお礼

ほんと、トリップしている状態です・・(苦笑)

ありがとうございます。参考になります。
(ぜんぜんいいかげんではありませんよ!)
もう１度勉強やり直さなければ・・と日々感じております。

ああ、頭が良くなりたい・・。

お礼日時：2001/01/20 22:17