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自動制御のシステムにおいて、状態方程式の極が複素平面上の左半面(0より大きい)位置に存在しないと、システムが安定しないと一般的に言われていますが、それは何故なのでしょうか?
いろいろな資料を調べてみましたが答えが分からずお手上げ状態です。
少し分かりにくい質問内容かもしれませんが、どなたかご存知の方、ご教授おねがいします。

A 回答 (2件)

状態方程式をラプラス変換した形で表すと、


sX=AX+BU となって X=(sI-A)^(-1) BU
となります。(ただし、A,Bは行列,^(-1)は逆行列)
ここで、(sI-A)^(-1)Bの各要素を部分分数に展開すると、
a1/(s-λ1)+a2/(s-λ2)+..という形になります。(λが極)
こいつを逆ラプラス変換すると、
a1(exp(λ1t))+a2(exp(λ2t))+..
となって、λの実部が正だと、時間とともに発散します(系が不安定)。
ということで、極の実部が負、というのが安定であるための条件になっていることになります。
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この回答へのお礼

「0より小さい」でしたね。書き間違えました。
ごめんなさい。
すばやくわかりやすい回答ありがとうございます!

お礼日時:2007/05/31 10:34

極は系を記述する定係数線形微分方程式の斉次解に対応する


極(単根)が(α+j・β)
とすると
対応する政治解は
exp(α・t)・cos(β・t)

exp(α・t)・sin(β・t)
である
極が右半にあるということは0<αであり
これらが指数関数的に増大する
n重の場合にはこれらにt^(n-1)がかかる
しかし絶対値が減衰するかどうかはexp(α・t)次第であるから関係ない

系を表す式は単なる微分方程式のラプラス変換である
この事情は古典であろうが現代であろうが変わらない
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