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アークサイン+アークコサインの計算方法および答えを教えてください。

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A 回答 (4件)

微分を使ってもできます。


arcsinx+arccosx を、逆関数の微分公式を使ってxで微分します。すると、この導関数が0であることがわかります。

導関数が0であるということは、もとの関数はxの値に関わらず定数です。あとはx=0を代入して、

arcsin0+arccos0 = π/2 なので、xについて恒等的に
arcsinx+arccosx = π/2 であることが証明されます。
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この回答へのお礼

微分使ってやるのは凄いです!!
貴重な意見ありがとうございました。

お礼日時:2007/06/02 19:31

アークサインx=A、アークコサインx=Bとおくと、


サインA=x、コサインB=x
コサインA=√(1-x)の2乗、サインB=√(1-x)の2乗
斜辺の長さが1で、残りの2辺の長さがx、√(1-x)の2乗
の直角三角形を描くとわかりますが、A+B=90度です。
あるいは、加法定理を使ってサイン(A+B)=1よりA+B=90度
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この回答へのお礼

なるほど。加法定理は思いつきませんでした。
ありがとうございました。

お礼日時:2007/06/02 19:29

直角三角形を描いて角と「辺の比」の対応を絶えず意識しながら計算します。

ここでは角度をラジアン[rad]単位で考えています。

また次の関係もあります。
arcsinA=arccos√(1-A^2)
arccosA=arcsin√(1-A^2)
arcsinA+arccosA=π/2

さらに主要なarcsin、arccosの角度も覚えておいて下さい。

arcsin(1/2)=arccos{(√3)/2}=π/6
arccos(1/2)=arcsin{(√3)/2}=π/3
arcsin(1/√2)=arccos(1/√2)=π/4
arcsin(1)=arccos(0)=π/2
arccos(1)=arcsin(0)=0

実例
arcsin(1/2)+arccos(1/2)=π/2
arcsin(3/5)+arccos(4/5)=2*arcsin(3/5)
arcsin(2/3)+arccos{(√5)/2}=arccos(1/3)
arcsin(1/2)+arccos{(√5)/3}=arccos(1/3)
arcsin(1/√2)+arccos(1/√5)=(π/4)+arctan(2)

など
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この回答へのお礼

覚えておきます。
ありがとうございました。

お礼日時:2007/06/02 19:28

ちょっと、それだけじゃわかりにくいですねぇ。


一応、arcsinX+arccosX についてやってみます。
α=arcsinX,β=π/2-α とおくと
sinα=Xかつ-π/2≦α≦π/2,0≦β≦π である。このとき、
cosβ=cos(π/2-α)=sinα=X
よって
arccosX=β=π/2-α=π/2-arcsinX
これより、
arcsinX+arccosX=π/2
これで、いかかでしょうか?わかりました?
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この回答へのお礼

すごいうまいやりかたですね。
よくわかりました。ありがとうございます。

お礼日時:2007/06/02 19:27

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