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簡単に説明をお願いします。
特に聞きたいのは円筒座標・球座標における線素ベクトルについてです。
出来れば面素ベクトル・体積素ベクトルについてもよろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

>それぞれの成分の微小変化量の合計なのか?という認識なのですが違うんでしょうか?



この点は間違っているようです。円筒座標をとりあげると、たとえば直交座標でx方向の変化があったとするとこれを円筒座標のrとφの方向に射影して大きさを求めようとするとyの位置によって、その影の大きさが変化することがわかると思います。この関係を式に表すことはできないこともありませんが、無理に直角座標と円筒座標を結びつけると、関係式はかなり複雑なものになり利用価値がありません。そこで円筒座標において最初からr方向の微少な変化、φ方向の微少な変化を考えます。ところが直角座標と違うところは直角座標ではxが変化してもy、zには影響が及びませんが、rが大きくなるとφ方向の微少な角度だったはずの円筒表面のベクトル長はどんどん大きくなってしまいます。すなわち線素はrによって影響を受けるためrdφと書かれるのです。これは円弧の大きさが中心角をφとするとrφと表現されることから類推できると思います。このように曲線座標系では測度というパラメータが無視できません。
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 線素ベクトルといっても要するに線積分をおこなうときの経路上にあり、経路の接線方向を向いているベクトルというしかありません。


ただその長さds を表現するときに円筒座標(r,φ,z)で表現するならば
ds^2 = dr^2 + r^2 dφ^2 + dz^2
極座標(r, θ, φ)では
ds^2 = dr^2 +r^2 dφ^2 +r^2 (sin(θ))^2 dφ^2
のように各方向の微係数を使って表せます。しかし、この式は実際の線積分にはそれほど役に立たないでしょう。これが2次元で極座標であればおそらく円周方向のベクトルを指す場合が多いので有用です。
これに対して面素ベクトル、体積素ベクトルは、円筒座標、極座標で取り扱う以上実際のターゲットが円筒形や球形の物体であるはずで、面素ベクトルも体積素ベクトルもr方向に向いていることが多いはずです。
すなわち、円筒や球の表面から垂直に伸びたベクトルを想定することになります。
これは大きさが
円筒座標 面要素 dS= r dφ dz 体積要素 dv= r dr dφ dz
球座標 面要素 dS= r^2 sin(θ)dθ dφ 体積要素 dv= r^2 sin(θ) dr dφ dθ
の大きさになります。電磁気学の教科書にはたいてい書かれていることですけれども。
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この回答へのお礼

教科書には一応書いてあるんですが、細かい説明がないんです。
直角座標、円筒座標などの座標系で線積分をするときに線素ベクトルを
使うと思うんですが、そのときの線素ベクトルというのが具体的に何を指す
のかがよくわからないんです。今のところは直角座標における
線素ベクトル dl=ixdx+iydy+izdz ix:x成分の単位ベクトル
から考えるとそれぞれの成分の微小変化量の合計なのか?という認識
なのですが違うんでしょうか?そう考えると、円筒座標において
φ成分の微小変化量がiφrdφ?という疑問なわけです。

お礼日時:2002/07/09 23:24

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