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上底が8cm,下底が12cmの台形がある。
下底の両端の内角の大きさが45度,60度であるとき、この台形の面積について
台形の高さをhとおくと

(h/√3)+8+h=12はどうやって現われたのでしょうか?

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A 回答 (7件)

>比はAB2h ,高さ√3 h 底辺h



ここが間違っています。「台形の高さをhとおいた」のだから高さはhでないと変です。高さをhにするには全体を√3で割って書き直すと

>角Bを60度おいて
 比はAB2h/√3 ,高さ h 底辺h/√3

これで下底が全て出たので、(下底=)(h/√3)+8+h=12

この回答への補足

勘違いしていました。
ありがとうございます

補足日時:2007/06/18 14:25
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台形を以下の三つの図形に分解してみてください。



1. 1角が45度の直角三角形
2. 縦の長さh、横の長さ8の長方形
3. 1角が60度の直角三角形

  /| ̄ ̄|\
/_|__|_\ 

すると、台形の底辺12センチは
1.の底辺+2.の横の長さ+3.の底辺=12
になります。

1.の底辺ですが、45度の直角三角形なので高さと同じになります(=h)
3.の底辺ですが、60度の直角三角形なので高さ÷tan60 (h/√3)

なので、h+8+(h/√3)=12 となります。
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 台形ABCDにおいて、上底AD=8cm、下底BC=12cm、∠B=60°、∠C=45°とします。


 点Aから線分BCに下ろした垂線の足を点Eとし、同様に、点Dから線分BCに下ろした垂線の足を点Fとします。
 このとき、問題から台形の高さは h とされていますので、
  AE=DF=h   ・・・・・(A)
となります。

 さて、下底BCについて、次の式が成り立ちます。
  BC=BE+EF+FC   ・・・・・・(B)

 線分BEの長さは、直角三角形ABEの底辺ですが、∠B=60°ですので辺の比が有名な1:2:√3になります。
  BE:AB:AE=1:2:√3
 ここで、辺BEとAEだけに注目すると、
  BE:AE=1:√3
 ∴BE=AE/√3 =h/√3  ・・・・・(C) ( 式(A)より。)
となります。

 また、線分EFは、長方形AEFDの1辺ですので、向かい合う辺と長さが等しく、
  EF=AD=8 (cm)   ・・・・・(D)
となります。

 そして、線分FCの長さは、直角二等辺三角形FCDの直角を挟む1辺になっていますので、
  FC=DF=h   ・・・・・・(E)  ( 式(A)より。)
となります。


 式(C),(D),(E)の結果を式(B)に代入しますと、
  BC=BE+EF+FC
 ⇔BC=h/√3 +8+h
となりますが、問題よりBC=12 (cm)ですので、これを入れて、
  12=h/√3 +8+h
を得ます。
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上辺の両端から下辺へ垂直線を引く


すると、底辺12は両脇の三角形の底辺と上辺の長さの和である。
「垂直線は、台形の高さでありhの長さとする」

内角の大きさが45度の側の三角形の底辺はh  ∵直角二等辺三角形
内角の大きさが60度の側の三角形の底辺をxとすると x:h=1:√3  ∵正三角形を縦2分した形で正三角形の高さがh:ここを間違えないように
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NO1さんのとおり。



>60度は比で表すと台形ABCDとおいて
角Bを60度おいて比はAB2h ,高さ√3 h 底辺h

とありますが、最初に「高さをh」としたのですから、
「高さ√3 h 底辺h」ではなく、「高さh、底辺h/√3」です。
落ち着いて考えましょう。
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本当にどうやって現われたのでしょうね?


小学校の台形の面積の計算の仕方だと、
(8+12)h/2 
ですけど。√3 が出てくるということは60度の三角形の長さに
関連していると思われます。 等号式になっているので、何かの
条件があるときに高さを求めるものだと思うのですが、もうひとつ
何か条件があると思われます。 問題を今一度ご確認いただけます
でしょうか?

この回答への補足

問題は確認しましたが合ってます。

補足日時:2007/06/18 12:10
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補助線を2本入れ、問題の台形を横8cm縦hcmの長方形と三角形二つに分割してみてください。

後は三角形の一角がそれぞれ45°、60°と分かっていますから、三角比でそれぞれの三角形の底辺をhを用いて表します。
三角形の底辺(60°の方)+(長方形の横の長さ)+三角形の底辺(45°の方)=12となります。

この回答への補足

60度は比で表すと台形ABCDとおいて
角Bを60度おいて
比はAB2h ,高さ√3 h 底辺h
角cを45度
比 DC√2 h 高さh 底辺h

私が計算すると
h+8+h=12になってしまいます

補足日時:2007/06/18 12:10
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