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座標空間に平面α:x+y+z=2と直線l:x-2=-2y=2z-2。
このときlを含みαに垂直な平面の方程式の問題で
座標を表す時
α(1,1,1)
直線l(2,-1,1)
とどうやって座標を作るのでしょうか?

A 回答 (3件)

>連立方程式で解くと


>r=-(3/2)P
>q=(1/2)P
>になりました・・・

求める平面の法線ベクトルですよね。これは(2:1:-3)などとビシっと出て来ません。
なぜならこれの定数倍(0倍は除く)は全て正解なのですから。
という訳で、再び割ったり掛けたりしましょう。
(a,b,c)=(p,(1/2)p,-(3/2)p)
p≠0を確かめつつ (a,b,c)=(1,1/2,-3/2)//(2,1,-3)

この回答への補足

どうもありがとうございます。
2x+y-3z=s(s定数)
と置けるんですね。

補足日時:2007/06/19 14:05
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>直線l:x-2=-2y=2z-2 の場合



x、y、zの係数が1になるように変形すると (x-2)/1=y/(-1/2)=(z-1)/(1/2)
なので直線lの方向ベクトルは(1,-1/2,1/2)
これでもいいんだけれど、その後の計算を簡単にするために全体に2を掛けて(2,-1,1)

この回答への補足

そんな風に考えるのですか参考になりました。
分母を(1/2)で割る発想がちょっと難しいです

それからa:b:cの比で2:1:-3はどうやって現われたのでしょうか?

補足日時:2007/06/19 10:31
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この回答へのお礼

連立方程式で解くと
r=-(3/2)P
q=(1/2)P
になりましたがPはどのようにかんがえるのか分かりません。

お礼日時:2007/06/19 10:42

 ちょっと舌足らずなようですね。


 もう少しきちんと書くべきことを書くようにしたほうがいいですよ。その方が回答がつきやすいかと思います。

 さて、質問の内容にお答えしますと、
>平面α:x+y+z=2
  ⇒ 平面αの法線ベクトル(1,1,1)
>直線l:x-2=-2y=2z-2
  ⇒ 直線lの方向ベクトル(2,-1,1)
というところまでは分かっていますよね。(この式は以前見かけたような気がします。)

 さて、問題はここからですが、求める平面は、直線lを含んで、平面αに垂直な平面ですので、「求める平面の法線ベクトルは、直線lの方向ベクトルと平面αの法線ベクトルの両方に垂直で、直線l上の点を通る」ことになります。
 そこで、求める平面の法線ベクトルを(a,b,c)としますと、これと垂直なベクトルとの内積は0になりますので、次の式が得られます。

 直線lの方向ベクトルと垂直 ⇒ (1,1,1)・(a,b,c)=a+b+c=0  ・・・・(A)
 平面αの法線ベクトルと垂直 ⇒ (2,-1,1)・(a,b,c)=2a-b+c=0  ・・・・(B)

 この2つの式を連立して、a:b:cの比を求めますと、次の関係が得られます。

  a:b:c=2:1:-3

 これが、求める平面の法線ベクトルになります。
 ところで、直線lは、方向ベクトルを明示するように変形すると
  x-2=-2y=2z-2
 ⇔(x-2)/2=y/(-1)=(z-1)/1
となりますので、この直線は点(2,0,1)を通ることが分かります。

 ここから、求める平面は、法線ベクトルが(2:1:-3)で、点(2,0,1)を通ることから、次のように求められます。
  2(x-2)+1・(y-0)-3(z-1)=0
 ∴2x+y-3z-1=0

この回答への補足

どうもありがとうございます。
聞きたいことがあるのですが
 従って、直線l:x-2=-2y=2z-2 の場合は、
  (x-2)/2=-y=(z-1)
(x-2)=0のときx=2
(z-1)=0のときz=1
-yは-1*y?
から(2、-1,1)となるのでしょうか?

補足日時:2007/06/19 10:00
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この回答へのお礼

比のa:b:c=2:1:-3の求めかたが分からないので教えてください

お礼日時:2007/06/19 10:28

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