出産前後の痔にはご注意!

A,Bをそれぞれm次、n次の複素上三角正方行列、
X,Cをそれぞれm*n複素行列としたとき、Xに対する方程式AX-XB=Cを考える。
このとき任意のi,jに対してA(i,i)≠B(j,j)ならばXが一意に定まることを示せ。
という問題なのですが、方針さえまったく立ちません。
どなたか分かる方、お教えください。

A 回答 (3件)

1箇所書き間違い


「1つ」→「X=0」に修正

A・X-X・B=0
の解がX=0以外に無いとすると以下が言える
X,Yが解ならば
A・X-X・B=C
A・Y-Y・B=C
であり
A・(X-Y)-(X-Y)・B=0
であるから
X=Yである
すなわち
A・X-X・B=C
の解は1つしかない
よって
A・X-X・B=0
の解がX=0しかないことをいえばよい
A・X=X・B
の両辺の(m,1)・・・(m,n)を順次比較して
Xの(m,1)・・・(m,n)が0であることを補足に書け
残りも同じようにできる
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この回答へのお礼

ありがとうございます!きれいにできました!
自力でやっていても思いつきそうにない解法だと思いました…
A(i,i)≠B(j,j)⇒A・X-X・B=0の解がX=0しかない
       ⇒A・X-X・B=Cの解は1つしかない
ときれいにできました。ありがとうございました。
また何かあったときにはよろしくお願いいたします。

お礼日時:2007/06/20 18:51

A・X-X・B=0


の解がX=0以外に無いとすると以下が言える
X,Yが解ならば
A・X-X・B=C
A・Y-Y・B=C
であり
A・(X-Y)-(X-Y)・B=0
であるから
X=Yである
すなわち
A・X-X・B=C
の解は1つしかない
よって
A・X-X・B=0
の解が1つしかないことをいえばよい
A・X=X・B
の両辺の(m,1)・・・(m,n)を順次比較して
Xの(m,1)・・・(m,n)が0であることを補足に書け
残りも同じようにできる
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AX-XB=C


の成分を比較すると
Σ_1<=k<=m A(i,k) X(k,j) - Σ_1<=l<=m X(i,l) B(l,j) = C(i,j)
ですが、A,Bは上三角行列なので、Σの添え字が変わって
Σ_i<=k<=m A(i,k) X(k,j) - Σ_1<=l<=i X(i,l) B(l,j) = C(i,j)
になります。
これが手がかりになるかも?

この回答への補足

必死でΣを計算したのですが、それだと一意性を示すところで詰まってしまいました。。回答ありがとうございます^^

補足日時:2007/06/20 18:34
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