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複素数平面上の点√3 -iを、点1+√3iのまわりに135度回転した点は(1+√2)( □)なる。
□に答えを入れる問題。

複素数のiは2乗すると-1という事しか分かりません。
どのように考えるのでしょうか?
参考書の答えを載せておきます

(→AB)=→AB(cos135+isin135)
α-(1+√3i){(√3-i)-(1+√3i}*{(-1+i)/√2}
α-(1+√3i)=(1/√2){(√3-1)+(-√3-1)i}(-1+i)
α=(1+√2)+(√3+√b)i
=(1+√2)(1+√3i)
答えを読んでも分かりませんのでよろしくおねがしいます

A 回答 (6件)

>>点B(√3 -i)を、点A(1+√3i)のまわりに、


135度回転した点P(α)は(1+√2)( □)なる。
           P
          /
        /
      /    
     A   135度
   /\ 
 /    \
O       \
          B
135度回転→(cos135+isin135)を乗ずる、が不明ならば、
<複素数平面、複素平面、ガウス平面、複素数の回転>などで検索して下さい。

V(OP)=V(OA)+V(AB)[(cos135+isin135)]
α=[(√3ーi)ー(1+i√3)][(ー1+i)/√2]+(1+i√3)
=[(√3ー1)ーi(1+√3)][(ー1+i)/√2]+(1+i√3)
=(1/√2)[(√3ー1)ーi(1+√3)][(ー1+i)]+(1+i√3)
=(1/√2)[(ー√3+1+1+√3)+i(√3ー1+1+√3)]+(1+i√3)
=(1/√2)(2+i2√3)+(1+i√3)
=(2/√2)(1+i√3)+(1+i√3)
=√2(1+i√3)+(1+i√3)
=(1+√2)(1+i√3)
=(1+√2)□

となっています。
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>複素数のiは2乗すると-1という事しか分かりません。



それならば、まず複素数平面について復習をしてください。単に
i^2 = 1
がわかっていればいいだけではなく、a+biによって平面上の座標を表すということを知っている必要があります。

簡単に言うと、複素数平面とは、直交座標平面上で(a、b)という座標を a+bi と表す平面のことです。

複素数平面は、座標平面と同じように扱え、複素数がベクトルのように扱えます。しかし、複素数は商が定義されている、などによってベクトルよりもより豊かな内容が得られます。また、複素数によってベクトルの平面なす角が求まったりします。

テキストに書かれている事項をもう一度復習しましょう。そうすればあなたの書かれた問題もすぐに解けるはずです。
頑張ってください。
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確かに教科書の見直しが先ず必要ですね(笑い)。


複素数a+biを原点の周りに角度θ回転させると複素数(a+bi)(cosθ+isinθ)に移ります。一寸ゴタゴタしますが、点Aを(1+i√3)を原点に持ってくると点B(√3-i)は(√3-1-i(1+√3))となりますね。絵を描いて確認してください。点Aの周りに点Bを135度回転すると上の公式を使って(√3-1-i(1+√3))(cos135°+sin135°)の点に移ります。これは計算すると√2(1+i√3)となります。ここで元の原点に戻すとこの点は(1+√2)(1+i√3)となります。

>複素数のiは2乗すると-1という事しか分かりません。

実軸上の実数1にiをかけるとiになるということは原点の周りに90度回転したことになりますね。つまりiを掛けると言うことは原点の周りに90度回転するということです。だからi×i=-1はiを90度回転させて-1にいくということですね。

参考URL:http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack2/m/ki …
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 複素数を使った平行移動や回転については、次のサイトをご覧になってはいかがでしょうか。


 これらのことを学ばれてから、#2さんの回答を読まれると分かりやすいかと思います。

http://www.dbkids.co.jp/popimaging/seminar/compl …
http://www.dbkids.co.jp/popimaging/seminar/compl …
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基本的な問題ですから、少し教科書を復習してみて下さい。



点A(1+i√3),点B(√3 -i)
135度(3π/4ラジアン)の回転ベクトルe^(3πi/4)
B点が回転後にP点(α)に移るとすると
(→AP)=α-(1+i√3)
(→AB)=(√3 -i)-(1+i√3)
e^(3πi/4)=cos(3π/4)+i sin(3π/4)=(-1+i)/√2
ですから、これらの式を

(→AP)=(→AB)*e^(3πi/4)

に代入すれば
>α-(1+√3i){(√3-i)-(1+√3i}*{(-1+i)/√2}
になります。
後は複素数の計算をするだけでαを求めるだけです。

>α-(1+√3i)=(1/√2){(√3-1)+(-√3-1)i}(-1+i)
=(1/√2){(√3-1)+(-√3-1)i}(-1+i)
=(1/√2){2+i(2√3)}=(√2)(1+i√3)
α=(√2)(1+i√3)+(1+i√3)
>α=(1+√2)+(√3+√b)i ←意味不明

>=(1+√2)(1+i√3)
□の答えは「1+i√3」ですね。
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このくらいなら座標を使っても考えられる:


点 (√3, -1) を, 点 (1, √3) のまわりに 135度回転した点を求めてみてください.
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