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定義域が-2≦x≦3の関数f(x)=|x+1|+|x-1|+|x-2|の最大値は(ア)で、最小値は(イ)である。

という問題です。
|x+1|+|x-1|+|x-2|を場合わけして絶対値をはずしていくのかと思ったんですが、3つ絶対値が入ってる問題は初めてなのでよくわかりません。計算してみたら、
x<-1のとき、y=-3x+2
-1≦x<1のとき、y=2
1≦x<2のとき、y=1
x≧2のとき、y=3x-2
となったのですが、ここからどうやって最大値と最小値を出すのかがわかりません。どなたか分かりやすく説明をお願いします。

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A 回答 (4件)

私は絶対値の問題をグラフで解くのが苦手なので、式でやってみます。



y = |x+1| + |x-1| + |x-2|

-2≦x≦-1の範囲
y = -(x+1)-(x-1)-(x-2)
  = -3x-1+1+2
  = -3x+2
この範囲での
最大値は、x=-2のときなので、8
最小値は、x=-1のときなので、5

-1≦x≦1の範囲
y = (x+1)-(x-1)-(x-2)
  = -x+1+1+2
  = -x+4  (※)
この範囲での
最大値は、x=-1のときなので、5
最小値は、x=1のときなので、3
(※: #3さんのご回答では、-2x+4となっていますが、うっかりミスですね)

1≦x≦2の範囲
y = (x+1)+(x-1)-(x-2)
  = x+1-1+2
  = x+2
この範囲での
最大値は、x=2のときなので、4
最小値は、x=1のときなので、3

2≦x≦3の範囲
y = (x+1)+(x-1)+(x-2)
  = 3x+1-1-2
  = 3x-2
この範囲での
最大値は、x=3のときなので、7
最小値は、x=2のときなので、4


最大値は8
最小値は3
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この回答へのお礼

わたしもグラフで解くのがとても苦手なので、sanoriさんの説明はとてもみやすく、本当にありがたかったです。
場合わけを細かくするということをしていなかったようです;;
とても参考になりました、ありがとうございました!!

お礼日時:2007/06/19 21:41

グラフを描いて解いた方が分かりやすいでしょう。



xの一次式の絶対値はVの字型のグラフ(傾斜は±1)になります。それをx=-1,x=1,x=2にずらせたものを加え合わせたグラフになります。
グラフから -2≦x≦3 の範囲で最大値・最小値が簡単に求められます。
x=-2で最大値8, x=1で最小値3が求まります。

>x<-1のとき、y=-3x+2 ○
>-1≦x<1のとき、y=2 ×
y=-2x+4です。
>1≦x<2のとき、y=1 ×
y=x+2です。
>x≧2のとき、y=3x-2 ○
グラフに描いてみてください。
間違いにも気がつくでしょう。また最大値、最小値とそれを与えるxの値も分かります。
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グラフを描くのが無難です。



|x+1|も|x-1|も|x-2|も、
x軸で跳ね返るようなV字形になります。
それを足したグラフは
折れ線グラフになるはずです。

場合分け自体は間違っていませんから、
もう少し計算してみましょう。
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この回答へのお礼

折れ線グラフということは、まわりの余計な線は消してもいいということですよね?
参考になりました!!ありがとうございました!

お礼日時:2007/06/19 21:44

グラフに書けばわかるのでは? (正確にはそれぞれf(x)=○○で、y=f(x)のグラフを書く)。


なお、2つめと3つめは違っていると思います。
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