不定積分でのCのつけ忘れ

Question

僕の弟の話ですが、高校数学のテストの積分の問題で順調に全部解けていたらしいのですがテストが返ってきたらなんと40点しかなかったらしいです。なぜかというと不定積分で積分定数Cを付け忘れるという初歩的なミスをしてしまい不定積分の問題が全部0点だったということです。
本人はCを付け忘れているだけで数値はあっているから部分点ぐらいくれてもいいだろうと怒っていて先生に抗議したらしいですが却下されたらしいです。積分定数がそんなに大事なのか？と納得いかないようでした。Cのつけ忘れ0点は妥当なのでしょうか？もし受験ならCの付け忘れは0点なのでしょうか？教えてください

YHU00444 · Accepted Answer

私はこのご質問を読んで、「世の中にはまだマトモな教師が存在するのだな」と嬉しくなりましたね。

そもそも、数学の解答というのは「正しい」か「間違っている」かのどちらかしかないのでして、よほど高度な文章題ならまだしも、ただの計算に部分点という概念が入ってくるということ自体がおかしな話なわけです。

というか、あからさまな間違いに一々部分点を与える行為というのは、たとえるならば
・路面が陥没して車が落下する高速道路
・ときどき食中毒を起こして死人が出るレストラン
・震度5で崩壊するマンション
にも点数を与えろと要求するようなもので、そのような甘えを許すとロクなことにならないのはお分かり頂けるのではないかと。
※実際、分野によっては、方程式の計算ミスで重大リコールや死人を出すような大事故を招くこともあるのですから、高校だから受験だからという言い訳をその都度与えるのは良いことではないでしょう。
（そもそも、大学受験をする人間が、高卒で社会に出て働く者よりも甘い基準で評価されることがあったとしたら、それこそとんでもない話です）

Ishiwara · Answer

抗議して通る理屈でもありませんが、私は、この先生のやり方に反対です。
教師の大切な責務の一つは「数学嫌いを作らないこと」です。教師が嫌いだから数学が嫌いになった、という人は実にたくさんいます。
私が先生だったら１題分だけ０点にします。
「一生忘れないために厳しくする」も一理ありますが、私が生徒だったら１題分でも一生忘れません。

mmk2000 · Answer

Ｃの重要性は他の方がおっしゃったとおりなので省きますし、0点になる理由も省きます。

自分も高校生のころに全く同じような経験があります。といっても、自分は癖にしてたのでCは書きましたが、書かなかった人が×をボンボンくらってました。

「やっぱりまじめに言うことを聞いてたほうがいいんだな」「Cは何があっても絶対につけよう」という戒めの意味を強く感じましたね。

数学の厳密性と教育的な意味がある対応だと思います。

実際に記述式の場合は回答者のマニュアルによるので一概に言えませんが、いずれにせよCをつけることが無難ですので、おそらく今後は弟さんもCを付け忘れることは生涯ないでしょう。

Mr_Holland · Answer

ややもすると軽視されがちな積分定数ですが、とても意味のある定数ですので、積分計算の手順（積分定数を加えることも手順のひとつですが。）さえ理解していれば良いという問題ではすまないことが普通です。
　ここで、積分定数をおまけの数　などと理解されていては、この先、微分方程式に進んでから、初期条件や境界条件の意味が分からなくなることでしょう。

　定数の付け忘れが、どれほどの重要であるか、いくつか例を考えてみましたので、弟さんにこれらを正解といえるか聞いてみてはいかがでしょうか。積分定数は、ここに挙げる例の定数と同等の意味を持ちます。

１）　ｙはｘに比例する。式で表せ。
　　⇒　ｙ＝ｘ　　　　
　（本当の答え）ｙ＝ｋｘ　（ｋ：比例定数、ｋ≠０)

２）　ｙはｘに反比例する。式で表せ。
　　⇒　ｙ＝１／ｘ　　
　（本当の答え）ｙ＝ｋ／ｘ　（ｋ：比例定数、ｋ≠０)

３）　sin(x)＝1 を満たす実数ｘの解を求めよ。
　　⇒　ｘ＝π/2
　（本当の答え）ｘ＝π/2 + 2nπ　(ｎ：整数）

　積分定数の付け忘れに対する試験の採点基準は、これらの例の誤りに対する採点基準と同等だろうと思います。

ninigi · Answer

ただの計算問題なら△で－１点、－２点くらいが妥当でしょう。
しかし、先生は将来の事を考えて、敢えて採点基準を厳しくしているのだと思います。
　
応用問題では、定数＋Ｃ分の自由度を考慮して、さらに題意にあった解を絞り込む必要があったりするので、
計算中に＋Ｃを付け忘れた為に解の自由度気づかず、２０点満点中２点しか貰えない、なんてことも充分ありえる話です。
大学の二次の数学の問題は文章問題が４問だけ、という事もあるので、それこそ積分定数のつけ忘れが合否に直結しかねません。
　
期末試験前の小テストで甘い点をもらって「積分定数なんで忘れてもいい」なんて思ってしまったら、将来取り返しのつかないことになります。
弟さんは今回のことで苦い思いをしたので次からはＣを忘れないでしょう。
長い目で見ると、今回の点数は厳しいながらも「良い」採点だったと思いますよ。

banakona · Answer

積分定数って結構おもいモノです。
うっかりすると「ただの定数」と思ってしまいがちですが、それは連続関数の場合です。
たとえば、１／（cosθ）^2の不定積分はtanθ＋Ｃ ですが、このＣ は、区間（ｎπ＋π／２，ｎπ－π／２）ごとに変化できるものです（ｎは整数）。これでは「定数」というより「関数」ですよね。

最初、ご質問を読んだときは私も「厳しいなあ」と思いましたが、＃１さんのご意見を読んだり上記のことを思い出したりして考え直しました。

今回の０点は「授業料」だったと思いましょう（ちょっと高いけど）。Ｃ 以外の部分はできたんですよね？　ならば、「腐らずに、これからも数学がんばってください。入試じゃなくて良かった」と弟さんにはお伝えください。

kabaokaba · Answer

不定積分ってのは名前の通り一個に定まらないもので，
普通，数学で「求めよ」といわれたら
特に前提がなければ「すべて求める」という話になります．
すべてが要求されないときは「例示せよ」とか
「少なくとも一つ求めよ」とかかかれてます．

例えば，極端な話
問題　4の約数を求めよ
答え　1
・・・無意味ですよね．

「Cのつけ忘れくらい」と主張した段階で
不定積分の意味というか，
微分すると定数が消えることの意味とかといった
数学が非常に気にする部分を無視してしまっている，
もしくは論理の重要なところを理解していないということを
図らずも主張してしまったわけです．

ちなみに「積分定数」ってのは極めて重要なものです，
単に積分だけでは見えにくいですが，
応用を考えると「積分定数」があるから，
話ができるというのがほとんどです．

>もし受験ならCの付け忘れは0点なのでしょうか？教えてください
これは採点基準に依存して，一概には誰もわからないでしょう．
こういう場合は「もっとも厳しい基準」を前提にして考えるべきで
その意味では「０点となる」と考えておくのが無難です．
＃ちなみに私が採点すると仮定するならば，やはり０点です．

機会があれば予備校などで聞いてみるとよいかもしれません．
学校に縛られない横断的な「基準」（の一つ）が
分かるかもしれませんので．

不定積分でのCのつけ忘れ

私はこのご質問を読んで、「世の中にはまだマトモな教師が存在するのだな」と嬉しくなりましたね。

抗議して通る理屈でもありませんが、私は、この先生のやり方に反対です。

Ｃの重要性は他の方がおっしゃったとおりなので省きますし、0点になる理由も省きます。

ややもすると軽視されがちな積分定数ですが、とても意味のある定数ですので、積分計算の手順（積分定数を加えることも手順のひとつですが。

ただの計算問題なら△で－１点、－２点くらいが妥当でしょう。

積分定数って結構おもいモノです。

不定積分ってのは名前の通り一個に定まらないもので，

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