運動エネルギー

Question

速度vで等速直線運動をしている質量mの物体と、等しい速度の大きさで等速円運動をしている同じ質量の物体では、運動エネルギーの大きさはどちらが大きいか。

という問題なのですが、よく分からず困っています。
何かアドバイスなど、頂けたら嬉しいです。よろしくお願いします。

kle2503474 · Accepted Answer

２次元の座標を描いて考えます．
１．等速直線運動
座標（０．０）で，右方向をX軸+．上方向をY軸＋とします．
速度VはX軸＋方向に同じ大きさ（等速）
速度VyはY軸方向だから０（速度なし）
よって運動エネルギーE1は
E１＝１/２＊ｍ＊Vx＾２＝１/２ｍV＾２

２．等速円運動
VをVxとVyに分解しても，運動エネルギーの式，下は成り立つ．
E=１/２ｍV＾２＝１/２ｍVx^2＋１/２ｍVy＾２・・・１
例えば，水平から４５°の地点での運動エネルギーを考える．
E2＝１/２＊ｍ＊V45°＾２
このとき，V45°をX成分とY成分に分解して，運動エネルギーの
式を考えた時も，１式は成り立つ．
この事を，360°に広げて考えると，VxとVyの値は-ｒ～＋ｒの間
の値をとるが合成速度Vｒ＝V（等角速度）
だから，E2＝1/２＊ｍ＊Vr＾２　Vr＝V

３．１．２．よりE1＝E2となる．
等速円運動は，ｍを内側に引っ張る力Fが常に働いているが，
速度Vは力Fに対し，常に直角方向で，角速度ωは変らない．
（速度は変る：ベクトルだから）
運動エネルギーの式は，質量と速度の式だから，
円運動の場合，E2＝1/２ｍ（ｒω）＾２となる．
しかしV＝ｒω（ベクトル量として）だから，E1＝E2
したがって，運動エネルギーは同じ．
間違っていたらごめんなさい．

ht1914 · Answer

高校の物理では速度と速さは一緒に出てきます。
速さはベクトル、速さはスカラーです。
ベクトルは向きと大きさを持った量、スカラーは大きさだけの量です。
でもベクトルという言葉は絶えず使いますがスカラーという言葉はほとんど使いません。
「速度の大きさが速さである」「速さは大きさだけを表す量である、向きは考えていない」と言えば、敢えて速さはスカラーであると言う必要がないからです。必要以上にカタカナ言葉は使いたくありません。
速さと向きを合わせたものが速度と言ってもいいです。
「速度が同じであれば速さも同じである。」
「速さが同じであっても速度が同じであるとは限らない、向きが違っていれば速度としては異なる。」
というのはよく強調することです。
位置と距離、力と力の大きさ、・・・何時もセットで考えます。

これを押さえておかなければ成分を合成して速さを出すということが出来なくなります。
成分がわかれば速さがわかる、速さと向きがわかれば速度がわかるということになります。
矢印のイメージでベクトルを表してピタゴラスの定理を使って成分から速さを出します。
Ｖ＾２＝Ｖｘ＾２＋Ｖｙ＾２は承知のことです。

ただこれが（Ｖ→）＾２という表現になると「？」となる生徒が多いでしょう。ベクトルの内積から導くことを教科書ではやっていません。別の数学的なハードルが入ってきますから正面には据えていません。「成分」の考えはよく出てきますが内積という言葉は使っていません。

従って運動エネルギーの表現はＶ＾２として出てきます。（Ｖ→）＾２は出てきません。

Ｖという文字は速さにも速度にも使います。ベクトルであるときは記号の上に→をつけます。

kle2503474 · Answer

#2の者です．
高校教師ではありません．
「速度の大きさ（スカラー量）」＝「速さ」と言う説明をしたかっただけです．
　運動エネルギーの式においては，
　E＝1/２＊ｍ＊V^2　です．
このとき，高校物理では，一般にVを「速度」の記号として扱っています．　もちろん，代数学では，ベクトル＾２＝スカラーなので，
Vを「速さ」としてもいいのですが・・・．　
このとき，運動エネルギーは，一般に高1で学習します．ベクトルについては，高2です．　だから，物理に必要な数学の概念が追いついていないのでは？と思い，変な標記になりました．　分かりづらかった事を陳謝します．
　高校物理では，Vを速度として，X方向とY方向（Z方向）に分解して考える事が多いです．
　ベクトル＾２＝スカラーと言う概念が，数学的に出来ていれば，
Vは「はやさ」と言って構いません．
ただ，他に等速円運動，単振り子，振動，ばね振り子などの問題で，Vは速度を表す記号として出てきます．　その統一性を取る為に，あえて，速度（ベクトル量）≠速さ（スカラー量）と標記しました．
あとの，回答の部分については，他の回答者の方と基本的に同じです．

ht1914 · Answer

＃３です。

まさか
速度の二乗＝速さの二乗
で混乱があるとは思いませんでした。
高校であれ、大学であれ同じです。ベクトルを二乗すればスカラーになります。
質問の出題者も同じような誤解をしているのでしょうか。

スロープに沿っての運動で落下の高さが同じであればスロープの形によらず、落下後の速さは同じであるというのはよく知られていることです。この結果はふつうエネルギー保存を用いて説明します。スロープが変わると運動の向きが変わります。でも速さは同じになります。運動エネルギーが速度ではなくて速さで決まっているということがポイントです。

＃２の方がもし高校の先生であるとしたら大問題です。
生徒が困ります。

sanori · Answer

＃３さんの回答が正しいです。

運動エネルギー　＝　１／２　かける　質量　かける　「は・や・さ」^2

です。

進む方向がどうであれ、スカラーとしての速さ（と質量）が同一であれば、運動エネルギーは変わりません。
もしも速さをベクトル（速度）で考えるのであれば、ロケットを真上に発射するとき、（たとえば赤道上の）東経０度から飛ばすのと東経１８０度から飛ばすのとで、同じ勢いで飛ばすためには、打ち上げに使う燃料の量を変えないといけません。
だから、ｘ方向、ｙ方向、ｚ方向に分割して計算する必要が無いのです。


ちなみに、
等速運動でなくて瞬間的であっても、速さ（と質量）が同一であれば、その瞬間の運動エネルギーは等しいです。

kle2503474 · Answer

ANo.2の者です．
運動エネルギーは前述したとおり，速度（ベクトル量）と質量の関数です．速さとは，速度の絶対値でスカラー量です．
ベクトルとは方向を持つ量で，スカラーとは，１次元の量です．
ベクトルとスカラーは，高校数学で習います．
したがって，Ano.３の人の「速さ」と言うのは間違いで，「速度」と読み変えてください．
　高校物理では，「速さ」と「速度」の概念が違う事からはじまります．「速さ」≠「速度」です．　よく注意してください．
　したがって，質問文でも「等しい速さの大きさ」となると，答えが違ってきますので，そこを注意してください．

ht1914 · Answer

運動エネルギーは速さと質量だけで決まります。
速さも質量も同じであれば運動エネルギーは同じです。直線運動か円運動かには関係しません。

問題の意図は別のところにあるのではないでしょうか。
単にこれだけのことを聞いているのだとは思えないのですが。

N64 · Answer

運動エネルギーを式で表してみましょう。

運動エネルギー

２次元の座標を描いて考えます．

高校の物理では速度と速さは一緒に出てきます。

#2の者です．

＃３です。

＃３さんの回答が正しいです。

ANo.2の者です．

運動エネルギーは速さと質量だけで決まります。

運動エネルギーを式で表してみましょう。

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