出産前後の痔にはご注意!

以下のような問題に頭を悩ませております。
ふたつの関数f(x),g(x)は次の(I)(II)をみたしている。
この時次のf(x),g(x)をそれぞれ求めなさい。
(I)f(x)=πcosx+∫[π→x]g(t)dt
(II)g(x)=cosx+(2/π)∫[0→x]f'(t)dt
[]内は積分範囲
この問題の解答が、次のようになっております。
??に挟まれた部分が私の疑問です。

(I)の両辺をxで微分して、
f'(x)=πcosx+g(x)
?何故πcosxなのか。πsinxではないのか?

上式を(II)ヘ代入して、
g(x)=cosx+(2/π)∫[0→π]{πcost+g(t)}dt
?積分範囲は何故[0→π]に変わったのか。[0→x]ではないのか?

⇔g(x)=cosx+(2/π)∫[0→π]g(t)dt (A)
上式の積分項は定数。
以下省略
(A)の積分項が0と分かり、
従って
g(x)=cosx
f(x)=πcosx+sinx
となっております。解答に記載されている式変形が理解できません。
分かる方、お教え頂けないでしょうか。

A 回答 (2件)

type-RRR さんが問題や解答を写し間違えたりしていなければの話ですが、


かなりひどい解答ですね。
答えを(II)に代入してみれば、解答が間違っていることはすぐにわかります。

>> ?何故πcosxなのか。πsinxではないのか?

πcosx の微分は、-πsinx です。

>> ?積分範囲は何故[0→π]に変わったのか。[0→x]ではないのか?

当然、[0→x]であるべきです。

というわけで、(問題が正しいという前提で)
正しい計算をすると、得られる式は

g(x) = ??? + ???∫[0→x] g(t) dt

となります。これを微分すると、1階線形微分方程式になり、
微分方程式を解くと g(x) が得られます。

計算はご自身でやってみて下さい。正しい解答は、

g(x) = { 1 / (π^2 + 4) }
      { 6πsinx + 3π^2cosx + (-2π^2 + 4) e^(2x/π) }
f(x) = { 1 / (π^2 + 4) }
      { 3π^2sinx + (π^3 - 2π)cosx + (-π^3 + 2π) e^(2x/π)
         - 6π + (π^3 - 2π) e^2 }

となります。
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この回答へのお礼

やはり解答が間違っていましたか。
あまり良くないテキストのようで…。

丁寧な回答をありがとうございます!

お礼日時:2007/07/07 15:30

最初から、


(I)f(x)=πsinx+∫[π→x]g(t)dt
       ↑
(II)g(x)=cosx+(2/π)∫[0→π]f'(t)dt
                  ↑
の誤植であるならば、

f(π)=0
f'(x)=πcos+g(x)

  (2/π)∫[0→π]f'(t)dt=Aなる 定数なので、

g(x)=cosx+A
f'(x)=πcos+cosx+A

  (2/π)∫[0→π](πcost+cost+A)dt=A
  (2/π)∫[0→π]Adt=A
  (2/π)(πA)=A
  A=0

g(x)=cosx
f(x)=πsinx+sinx
     ↑

あまりに、誤植がひどすぎて、市販のTEXTとは思えまん。
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この回答へのお礼

やはり誤植ですよね。
確信をもてました。
ありがとうございます!

お礼日時:2007/07/07 15:29

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