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1/{e^(3x)+4}を不定積分せよ。
この問題は、ただ単にlog|e^(3x)+4|にならないんですか。

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logの微分」に関するQ&A: logの微分について

A 回答 (3件)

置換積分は、やっていませんが、


せっかく、
>>log{(e^(3x))+4)} とかいてあるので、

[log{(e^(3x))+4)}]'=3(e^(3x))/{(e^(3x))+4}

分母・分子を睨んで、[3x-log{(e^(3x))+4)}]'を考えます。

[3x-log{(e^(3x))+4)}]'
=3-{3(e^(3x))/{(e^(3x))+4)}}
={3((e^(3x))+12-(3(e^(3x))}/{(e^(3x))+4)}
上手く、((e^(3x))が消えて、
=12/{(e^(3x))+4)}

係数を合わせるために、(1/12)倍して微分します。

[(1/12){3x-log{(e^(3x))+4)}}]'
=1/{(e^(3x))+4)}
-----
と完成して、

∫{1/{e^(3x)+4}}dx
=(1/12){3x-log{(e^(3x))+4)}}
=(1/4)x-(1/12)log{(e^(3x))+4)}。
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>log|e^(3x)+4|にならないんですか。


なりません。

(x/4) - (1/12)log {e^(3x) +4} + C (Cは積分定数)
となります。
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log|e^(3x)+4|を微分して1/{e^(3x)+4}にならない


ですよね。
log|f(x)|の微分はf' (x)/f(x)なので、3e^3x/{e^(3x)+4}
となってしまいます。

e^(3x)=t とおいて、3e^(3x)*dx=dtからdx=dt/(3t)、
よって、∫dx/{e^(3x)+4}=(1/3)∫dt/t(t+4)
           =(1/3)*(1/4)∫{1/t-1/(t+4)}dt
           =・・・
でしょうか?
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