不定積分

1/{e^(3x)＋４}を不定積分せよ。
この問題は、ただ単にlog｜e^(3x)＋４｜にならないんですか。

No.3 ベストアンサー 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/07/06 20:35

置換積分は、やっていませんが、

せっかく、
>>log{(e^(3x))+4)}　とかいてあるので、

［log{(e^(3x))+4)}］'=3(e^(3x))/{(e^(3x))+4}

分母・分子を睨んで、［3x-log{(e^(3x))+4)}］'を考えます。

［3x-log{(e^(3x))+4)}］'
=3-{3(e^(3x))/{(e^(3x))+4)}}
={3((e^(3x))+12-(3(e^(3x))}/{(e^(3x))+4)}
上手く、((e^(3x))が消えて、
=12/{(e^(3x))+4)}

係数を合わせるために、(1/12)倍して微分します。

［(1/12){3x-log{(e^(3x))+4)}}］'
=1/{(e^(3x))+4)}
-----
と完成して、

∫{1/{e^(3x)＋４}}dx
=(1/12){3x-log{(e^(3x))+4)}}
=(1/4)x-(1/12)log{(e^(3x))+4)}。

No.2 回答者： info22 回答日時： 2007/07/06 18:59

>log｜e^(3x)＋４｜にならないんですか。

なりません。

(x/4) - (1/12)log {e^(3x) +4} + C (Cは積分定数）
となります。

No.1 回答者： debut 回答日時： 2007/07/06 18:39

log｜e^(3x)＋４｜を微分して1/{e^(3x)+4}にならない

ですよね。
log｜f(x)｜の微分はf' (x)/f(x)なので、3e^3x/{e^(3x)+4}
となってしまいます。

e^(3x)=t とおいて、3e^(3x)*dx=dtからdx=dt/(3t)、
よって、∫dx/{e^(3x)+4}=(1/3)∫dt/t(t+4)
　　　　　　　　　　　=(1/3)*(1/4)∫{1/t-1/(t+4)}dt
　　　　　　　　　　　=・・・
でしょうか？