出産前後の痔にはご注意!

lim(n→∞){1/n+n/(n^2+1)+n/(n^2+2)+...+n/(n^2+(n-1)^2)}の極限を求める問題です。
lim(n→∞) (1/n)[k=0→n-1]Σ1/{1+(k/n)^2}となり、
lim(n→∞) (1/n)[k=0→n-1]Σ1/{1+(k/n)^2}[x=0→1-1/n]∫f(x)dx ≦ (1/n)[k=0→n-1]Σ1/{1+(k/n)^2} ≦ [x=1/n→1]∫f(x)dx +1/n
挟み撃ちの定理をつかって求め、答えはπ/4ということはわかったのですが、途中にでてくる両辺の積分の仕方がわかりません。
できるだけ詳しい途中式を書いていただけるとありがたいです。
最初から(lim(n→∞){1/n+n/(n^2+1)+n/(n^2+2)+...+n/(n^2+(n-1)^2)}から)答え合わせもかねてお願いします。

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A 回答 (1件)

f(x)=1/(1+x^2)


∫f(x)dx=arctan(x)+C はどこにも公式が載っている積分です。
x=tan(t/2)の変数変換すれば
f(x)=1/(1+x^2)→{1+cos(t)}/2 となる。
dx=dt/{1+cos(t)} となって
∫f(x)dx=∫2dt=t/2+C=arctan(x)+C
がでます。
[x=0→1]∫f(x)dx=arctan(1)-arctan(0)=π/4
arctan(x)は
arctan x
tan-1 x
などと書く逆正接(アークタンジェント)です。
[x=0→1-1/n]∫f(x)dx=arctan(1-1/n)→arctan(1)=π/4
[x=1/n→1]∫f(x)dx =arctan(1)-arctan(1/n)→π/4-0=π/4
となります。

あとは自分でやって下さい。
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