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問題で、自然数N=7^777について、log2=0.3010, log5=0.6990, log7=0.8451を利用して、次の問に答えよ。というもので、
Nは何桁の整数か?という1の問題には、ただ代入することで解くことができましたが、
2のNの先頭の数字は何か?という問題と、3のNの末尾の数字は何か?と言う問題がどうしても解けません。
おそらくlog2やlog5の値を利用して、log7を作って解くのだろうと思いますが分かりません。
どなたかアドバイスお願いします。

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A 回答 (2件)

指数対数の応用ですね。

桁数の計算は教科書にあってわかりのですが
質問にある、最高位の数・1の位の数は参考書を見ないと解りにくいと思います。

7^777でやって見ましょう
最高位の数は桁数を求めるのとよく似ていますが

log7^777=777log7=777*0.8451=656.6427
より7^777=10^(656.6427)=10^(0.6427)*10^656
桁数は10^656を使って出しますが、最高位の数は10^(0.6427)の方から出します
ここから10^(0.6427)の近似を計算します。ここがポイントです。

10^0<10^(0.6427)<10^ですから10^(0.6247)の整数部分は1桁の整数です。
つまり10^(0.6427)=*.*****という形の数です
これが最高位の整数を表します。
ここからは0.6427に近い対数を探します。
log5=0.6990ですからlog4=0.6020
0.6420<0.6427<0.6990からlog4<0.6427<0.6990
つまり4<10^(0.6427)<5
10^0.6427=4.??????という数ですから
7^777=(4.?????)*10^656という整数です
よって、最高位の数は4です
>2のNの先頭の数字は何か?
という問題も同じで、常用対数をとってその値の小数部分に注目して近似を求めるのです

一方、1の位の数は「1の位の数は1の位の数どうしの掛け算」から計算するので7^4=24017の4乗の1の位の数は1になる事を利用します
777=4*194+1ですから7^777=7^(4*194)*7
1の位の数は7です

>3のNの末尾の数字は何か?
これも7と同じで3^4=81から4乗すると1の位が1になる事を利用します
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この回答へのお礼

わかりやすい回答どうもありがとうございました。
理解することができました!

お礼日時:2007/07/08 17:21

2.log nを整数部分と小数部分に分けて考える


log N = 656.6427
N = 10^656*10^0.6427
log4<0.6427<log5

3.
x^(y+z) = x^y * x^z
x^(n*m) = (x^n)^m

mod 10 は 10で割ったあまり
7^2 mod 10 = 9
9^2 mod 10 = 1
1^2 mod 10 = 1

7^(4*n) mod 10 = 1
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
3番のやり方は僕には難しかったですが、2番はよく理解することができました。

お礼日時:2007/07/08 17:21

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Q指数 対数

18の18乗の最高位の桁と末尾の数字の求め方を教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

tsujisatoshiさん、こんばんは。
指数、対数ということなので、桁数は

10^n≦18^18<10^(n+1)

とおくと、これは(n+1)桁の整数ということができます。
両辺、常用対数(底が10の対数)をとると

nlog[10]10≦18log[10]18<(n+1)log[10]10

n≦18log[10](2*3^2)<n+1
n≦18{log2+2log3)<n+1

となるので、log2とlog3の近似値が分かっていれば
それを代入するといいですよ。

>末尾の数字の求め方

18^2=324なので、2乗すると、下1桁は4です。
18^4=(18^2)^2なので
18^4の下1桁は4^2=16なので6です。
18^8の下1桁は(18^4)^2なので6^2=36なので、これまた6です。
18^16の下1桁もまた、6だと分かります。

18^18=18^16*18^2なので
下1桁は、(18^16の下1桁)×(18^2の下1桁)=6×4=24
となるので、下1桁は4だと分かります。

tsujisatoshiさん、こんばんは。
指数、対数ということなので、桁数は

10^n≦18^18<10^(n+1)

とおくと、これは(n+1)桁の整数ということができます。
両辺、常用対数(底が10の対数)をとると

nlog[10]10≦18log[10]18<(n+1)log[10]10

n≦18log[10](2*3^2)<n+1
n≦18{log2+2log3)<n+1

となるので、log2とlog3の近似値が分かっていれば
それを代入するといいですよ。

>末尾の数字の求め方

18^2=324なので、2乗すると、下1桁は4です。
18^4=(18^2)^2なので
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