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問題は、
表が出る確率pのコインをn回投げるとき、表がちょうどk回でる確率はどれだけですか です。

自分が考えた所は、nCk × pのk乗 ×(1-p)のk乗 です。

そこで、nCk は n! / k!(n-k)!と変換できます。
ここから、nを無限にとると考えて極限とりたいなと思うのですが、そうすると、pは1未満なので0に収束してしまいます。。。


何かヒントがほしいです。。。

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A 回答 (4件)

0に収束してしまうのは、よくよく考えてみると当然といえます。


例えば、

表が出る確率 1/2 のコインを 10 回投げるとき、
  表がちょうど 5 回出る確率
表が出る確率 1/2 のコインを 100 回投げるとき、
  表がちょうど 5 回出る確率
表が出る確率 1/2 のコインを 1000 回投げるとき、
  表がちょうど 5 回出る確率
表が出る確率 1/2 のコインを 10000 回投げるとき、
  表がちょうど 5 回出る確率


というように n を大きくしていくと、確率は0に近づくはずです。
また、

表が出る確率 1/2 のコインを 10 回投げるとき、
  表がちょうど 5 回出る確率
表が出る確率 1/2 のコインを 100 回投げるとき、
  表がちょうど 50 回出る確率
表が出る確率 1/2 のコインを 1000 回投げるとき、
  表がちょうど 500 回出る確率
表が出る確率 1/2 のコインを 10000 回投げるとき、
  表がちょうど 5000 回出る確率


というように n を大きくしたとしても、やはり確率は0に近づきます。

#1さんがご指摘の通り、

表が出る確率 1/2 のコインを 10 回投げるとき、
  表がちょうど 5 回出る確率
表が出る確率 1/20 のコインを 100 回投げるとき、
  表がちょうど 5 回出る確率
表が出る確率 1/200 のコインを 1000 回投げるとき、
  表がちょうど 5 回出る確率
表が出る確率 1/2000 のコインを 10000 回投げるとき、
  表がちょうど 5 回出る確率


というように n を大きくすると、0でない一定値に近づきます。
(ポアソン分布に近づきます。)

でも、arirureron さんのイメージに近いのは、

表が出る確率 1/2 のコインを 10 回投げるとき、
  表が 4 回以上 6 回以下である確率
表が出る確率 1/2 のコインを 100 回投げるとき、
  表が 40 回以上 60 回以下である確率
表が出る確率 1/2 のコインを 1000 回投げるとき、
  表が 400 回以上 600 回以下である確率
表が出る確率 1/2 のコインを 10000 回投げるとき、
  表が 4000 回以上 6000 回以下である確率


というように n を大きくすると、0でない一定値に近づくのではないだろうか?
ということだと思うのですが、いかかでしょうか。
arirureron さんのイメージがそんな感じかどうかを確認できたら、
次に話を進めたいと思います。
(ただし、これはあくまでもイメージで、実際は違ったりしますが、
 そのことは後で書きたいと思います。)

この回答への補足

おぅぅ。。。。あぁぁ。。。。
うぅん、なるほどって感じですね。
やっぱりポアソン分布がカギですね。。。

補足日時:2007/07/09 22:43
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nを大きくするときに k がそのままだと、pが0に近づいてしまうのは当然です。

kもnに比例して大きくすれば、pは、ちょうどよいところにとどまるはずです。
この場合、nが有限の値ならば、2項分布ですが、nを無限にしたものをポアソン分布といいます。ポアソン分布で調べてください。
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それでは、数式計算に入ります。



表が出る確率 p のコインを n 回投げるとき、
表がちょうど k 回でる確率を B(k) とすると、

B(k) = nCk p^k (1-p)^(n-k)

です。このとき、平均 μ 、分散 V 、標準偏差 σ を求めて下さい。
なお、

μ = Σ[k=0~n] k B(k)
V = Σ[k=0~n] (k-μ)^2 B(k)
σ = V^(1/2)

です。(念のためですが、Σは最後までかかります。)

平均はグラフの中心、標準偏差はグラフの水平方向の広がり具合を
表しますので、この数値を使ってグラフを調節すると、
グラフは一定の曲線に近づくはずです。
(結論を言えば、正規分布の曲線になります。)
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nCk×p^k×(1-p)^(n-k)です。


nを無限大にするとき、そのまま∞にするのではなく、平均npを一定に
保ったまま、nを無限大にするということです。
a=npとおくと、p=a/nで、これをnCk×p^k×(1-p)^(n-k)に代入して
nを無限大にするとexp(-a)×a^k/k!となり、平均aのポアソン分布
の確率関数になります。
少し考えにくいかも知れませんが、pが小さく、nが大きい時は、二項分
布はポアソン分布で近似できるということです。
なので、上の極限をとる計算も近似計算であると思われると良いと思い
ます。
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