準同型写像について

「GL(n,R)で実数係数のn次正則行列のなす群とする。また、R*で０を除く実数全体に乗法で積を定義した群とする。AをGL(n,R)に含まれるものに対して、行列式detAを対応させる写像det:GL(n,R)→R*は群の全射準同型写像であることを確かめよ。また、その核はどのような部分群となるか？？」
という問題について、手がつけられません＞＜
アドバイスお願いします＞＜

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/07/11 00:21

>アドバイスお願いします

準同型すらわからないということでしょうか？？？

No.2 回答者： zk43 回答日時： 2007/07/11 00:34

表現の違いだけであり、detの性質から分かります。

まず、GL(n,R)に含まれる行列の行列式detAは、Aを変えることによっ
て、0以外のどんな実数値も取り得るということは良いでしょう。
例えば、任意の実数x≠0に対しては、行列Aとして、
x 0
0 1
を考えればよい。
これで、detは全射であることが分かります。
また、detAB＝detA×detBという行列式の性質から、detが準同型写像
であることも良いでしょう。
（f：G→G’が準同型写像であるとは、任意のx,y∈Gに対して
f(xy)=f(x)f(y)を満たすこと。fをdetと考える。）
また、核とはdetA＝1となる行列全体の集合ですが、これはn次特殊
線形群SL(n,R)となります。
（これが群をなすことは容易に確認できると思います。）
記号で書くならば、Kerdet＝SL(n,R)
これから準同型定理により、GL(n,R)/SL(n,R)とR*は群として同型とな
ります。つまりGL(n,R)の行列にSL(n,R)の行列を掛けても行列式は変わ
らないということです。

No.3 回答者： jmh 回答日時： 2007/07/11 06:41

> 手がつけられません

なぜ？

No.4 ベストアンサー 回答者： ojisan7 回答日時： 2007/07/11 12:35

ご自分で、どの程度考えましたか？

準同型であることは、積の行列の行列式の性質から明らかですね。全射であることは、任意の実数aが行列式の値となる行列Ａ∈GL(n,R)を見つければよいのです。核は行列式が１となる行列ですね。これは、群をなし、特殊線形群としてよく知られた群ですよね。