数学や科学理論の中で、演繹や帰納はどう適用されるか・されないのか教えて下さい。
たとえば、数学における演繹の役割は?数学における「証明」がどうして「演繹」といえるのか?
科学理論において、演繹の使われる場面は?

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A 回答 (2件)

●数学


 「数学的帰納法」というものがあります。すなわち、P(n)を自然数nに関する何かの性質だとして、
(1) n=0のとき、P(n)が成り立つ。
(2) もしP(n)が成り立つのであれば、P(n+1)も成り立つ。
の二つを証明すれば、
結論:全ての自然数n=0,1,2,.... についてP(n)が成り立つ。
と言える。
名前は「帰納法」でも、実はこれは演繹なのです。

 では、数学では帰納を使わないのか?そんなことはありません。
 色々な例を調べてみて「どうもXXという性質がいつでも成り立ちそうだ。」という予想を立てるのは、まさに帰納であり、科学において「仮説」を作るのと全く同じことです。
 このような予想が提出されると、その予想を満たさない「反例」が作れないか、あるいはその予想が演繹によって証明できないか、この両方向での研究が行われます。つまり研究の方向を与える、という意味で予想は非常に重要なのです。これも科学と同じですね。
 比較的最近解決された有名な予想は「a^n + b^n = c^n (n>2)となる自然数(a,b,c,n)はない。(フェルマーの予想)」であるとか、「平面上の地図は4色で塗り分けられる。(四色問題)」などですね。未解決の重要な予想も沢山あり「仮にその予想が正しかったとしたら、」という前提で、既にその予想を利用した理論が発展しています。もしこの理論の中で数学的矛盾が発生すれば、全て無駄になってしまうのか?いや、そうじゃありません。矛盾が出たということは、すなわち「予想が正しくないことの証明」が出来た事に他ならない。これは大変な成功ですね。だから予想が正しいのかどうか、結論を待たずにどんどん研究は進むんです。

●科学
 さて、Umadaさんの解説の通り、科学においては物事を観測して「どうもXXという性質がいつでも成り立ちそうだ。」という仮説を作る。これが帰納です。そして「もし、そういう性質がいつでも成り立つとすれば、こうなるはずだ」という演繹を行い、その予想に基づいて実験をしてみる。それで予想に反した結果になれば、仮説は間違っていたことになり、もういちど仮説を考え直す。さまざまな実験による検証を耐え抜いた仮説は、暫定的に「法則」として認められます。しかし一つでもこの法則に反する現象が見つかれば、またやり直しです。そうやって進歩していきます。
 もし長年の検証に耐えてきた法則の反例を見つけたら、大発見ですね。だから、よくオカルトのヒトが言う「科学者は科学の権威を守るために、従来の科学に反することは黙殺する」なんてのはとんでもないヨタ話で、科学研究の最も重要な役割は「従来の科学に反すること」すなわち反例、例外を一所懸命探すことです。
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この回答へのお礼

丁寧なご説明ありがとうございます。
演繹と帰納の密接な関係がよくわかりました
いろんな使われ方をしているのですねφ(.. )メモメモ

お礼日時:2001/01/24 22:47

事物の観察から法則を見出すことが科学における帰納です。

たとえば光の速度を計測する実験を繰り返し、光速が不変であるという法則を打ち出すことが帰納に当たります。
光速不変という法則から別のあることを導き出すこと、たとえば時間が相対的なものであるということを導きだすのが演繹に当たります。
重ねてになりますが、個々の事象から根本原則を見出す行為が帰納、根本原則から個々の事象を導き出す行為が演繹です。

科学理論においてはほとんどすべての場面で演繹が使われると言ってもいいでしょう。基本的な法則(例えば、ニュートンの運動方程式)というものは数えるほどしかなく、それ以外のほとんどはその基本的な法則から導きだされるものだからです。

数学はそれ以上「なぜ」を問うことのできない公理を出発点にして組み立てられている理論です。ある命題が正しいことを、公理(公理から導かれる諸定理も含めて)から導き出すことが「証明」なわけですが、これは上述の説明のように演繹にほかなりません。
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この回答へのお礼

早々のレスありがとうございます。
なるほどっ。
科学や数学にどう演繹・帰納が関わるのかが、よくわかりました。m(._.)m

お礼日時:2001/01/24 22:40

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Q数学的帰納法は演繹法?それとも帰納法?

数学や科学、論理において、
演繹法または帰納法
が使われると思います。

ところで、数学的帰納法は、そのどちらなのでしょうか?

どこかで、数学的帰納法は演繹法の一種、と聞きましたが、本当でしょうか?

でも、そうだとしたら、数学的帰納法という言葉は、誤解を招くというか、
たとえば、「数学的帰納法」を省略してたんに「帰納法」というのは、よくないのでしょうか?

Aベストアンサー

数学的帰納法という言葉が誤解を招く、というの確かにおっしゃる通りです。ですが、それで通っている用語なので大目に見てあげてください。また数学的帰納法を略して帰納法というのもわりとよく使われるので問題ないです。ただ、もし高校数学あるいは大学受験数学で使うなら、必ず数学的帰納法と書いてください。略して帰納法ではだめです。

よく漸化式を解く問題で、「推定して帰納法」なんていうテクニックを使いますが、これは正しくは、「帰納して演繹法」なんですよね。紛らわしいったらないですが、用語の混乱ということで納得されるのがよいと思います。推定することそのものが帰納法になっているので、それを数学的にきちんと演繹した、演繹的帰納法というとより正確な用語に近い気もしました。造語ですけど。

Q数学的帰納法でn≦k→n=k+1の場合(人生帰納法)

正の項からなる数列{an}がすべての自然数nに対して次の等式を満たすとき、一般項anを求めよ。

(a1+a2+・・・・・・・・・・・+an)^2 = a1^3 + a2^3 +・・・・・・・・・・・・・+an^3

an=n---①と推測して、n=1で成立をいったあと、
n≦kで①が成立すると仮定すると、n=k+1でa(k+1)=k+1となることを示す。

この問題は有名問題のようでチャート式やFocusGoldにも類問があり、http://examist.jp/mathematics/induction/jinsei-kinouhou/ でも紹介されています。

①掲載ないし紹介されている典型的な解法
いずれの解き方でも
(a1+a2+・・・・・・・・・・・+a(k+1))^2 = a1^3 + a2^3 +・・・・・・・・・・・・・+a(k+1)^3→a(k+1)=k+1
とコールバック的(?)に導く。

②私の考え=以下のような直截的解法は不可なんでしょうか??
すなわち
n≦kでan=nが、(a1+a2+・・・・・・・・・・・+an)^2 = a1^3 + a2^3 +・・・・・・・・・・・・・+an^3を満たすと仮定する。
このときn=k+1で(a1+a2+・・・・・・・・・・・+a(k+1))^2 = a1^3 + a2^3 +・・・・・・・・・・・・・+a(k+1)^3が成立する。
よって、an=nがすべての自然数nに対して(a1+a2+・・・・・・・・・・・+an)^2 = a1^3 + a2^3 +・・・・・・・・・・・・・+an^3を満たす。

②のような解法は数学的にNGなんでしょうか??直感的には②のほうが分かりよいし、むしろよくある解法かとは思うのですが、、なぜ回りくどい①の解法が掲載ないし紹介されているのでしょうか?!

このあたりの事情について、ご案内の方、よろしくご教示くださいませ。

正の項からなる数列{an}がすべての自然数nに対して次の等式を満たすとき、一般項anを求めよ。

(a1+a2+・・・・・・・・・・・+an)^2 = a1^3 + a2^3 +・・・・・・・・・・・・・+an^3

an=n---①と推測して、n=1で成立をいったあと、
n≦kで①が成立すると仮定すると、n=k+1でa(k+1)=k+1となることを示す。

この問題は有名問題のようでチャート式やFocusGoldにも類問があり、http://examist.jp/mathematics/induction/jinsei-kinouhou/ でも紹介されています。

①掲載ないし紹介されている典型的な解法
...続きを読む

Aベストアンサー

その「直截的解法」が何をいっているのかわからない. 特に
「このときn=k+1で(a1+a2+・・・・・・・・・・・+a(k+1))^2 = a1^3 + a2^3 +・・・・・・・・・・・・・+a(k+1)^3が成立する。」
からどうして
「an=nがすべての自然数nに対して(a1+a2+・・・・・・・・・・・+an)^2 = a1^3 + a2^3 +・・・・・・・・・・・・・+an^3を満たす。」
につながるのかさっぱりわからん.

あと, この問題は (結論的には)
全ての n に対して (a1 + ... + an)^2 = a1^3 + ... + an^3 を満たすなら全ての n で an = n
を示すというものであって,
全ての n に対して an = n なら全ての n で (a1 + ... + an)^2 = a1^3 + ... + an^3 を満たす
ことを示すものじゃない, ってことは認識できてる?

Q実数の数学的帰納法(連続帰納法)っていうのが

実数の数学的帰納法(連続帰納法)っていうのが

http://www.seto.nanzan-u.ac.jp/msie/gr-thesis/ms/2008/05mm031.pdf

にあるのですが、セクション2のI、II、IIIを示しても、
単調増大列が無限大に発散するとは限らないので、ある数以上の実数全体について示されるとは思えないのですが、
どのような仕組みなのですか?

Aベストアンサー

反省しました。流石に乱暴すぎたようです。

で、反省の結果。。。

L={l;a<x<l なる全てのxについてQ(x)}
とおけば、
・Lは空でない
・Lが上に有界ならば、
 上限をもつのでそれをmとおく。 
 mがLの元ならば、IIより∃c、m<x<c・・・・で矛盾
 mがLの元でないなら、IIIよりm∈L・・・で矛盾
 したがって、Lは上に有界ではない。

という論旨ではいかがでしょうか。

Q【論理的推論】チャールズ・サンダース・パースの論理的推論の演繹(えんえき)、帰納(きのう)、アブダク

【論理的推論】チャールズ・サンダース・パースの論理的推論の演繹(えんえき)、帰納(きのう)、アブダクション(仮説形成)を簡単に分かりやすく説明してください。

演繹って何ですか?帰納って何ですか?仮説形成って何ですか?

Aベストアンサー

パースの論理学に限った話ではないでしょ。(ま、パースの論理学に限る話の方は、余りにも古臭くなっちゃって、歴史的意味しかないっぽい気がするが。)

> 演繹って何ですか?
Deduction。既に分かっていることに含意されている事(既に分かっていることと同値か、あるいはそれよりも弱いこと)を結論すること。たとえば「AかつBである」と分かっているときに「Aだ」と結論する。これは数学の証明に使われる唯一の手段です。

> 帰納って何ですか?
Induction。いくつかの事例x1, x2, …で共通に成り立つ性質A(x)を見つけて、「きっと、どんなxでもA(x)であろう」と考えること。もちろん、間違っている可能性がある。
 なお、「数学的帰納法」という名の演繹法があって、”induction"はこっちの意味で使われることも多い。

> 仮説形成って何ですか?
Abductionは、広い意味での帰納の一種。いくつかの事例x1,x2, ...のそれぞれで成り立つ性質A(x1),B(x2),…を説明するのに、「どんなxでもH(x)であると仮定すると、演繹によって、x=x1の場合にはA(x1)、x=x2の場合にはB(x2)、…が証明できる」ような仮説H(x)をみつけること。もちろん、間違っている可能性がある。

パースの論理学に限った話ではないでしょ。(ま、パースの論理学に限る話の方は、余りにも古臭くなっちゃって、歴史的意味しかないっぽい気がするが。)

> 演繹って何ですか?
Deduction。既に分かっていることに含意されている事(既に分かっていることと同値か、あるいはそれよりも弱いこと)を結論すること。たとえば「AかつBである」と分かっているときに「Aだ」と結論する。これは数学の証明に使われる唯一の手段です。

> 帰納って何ですか?
Induction。いくつかの事例x1, x2, …で共通に成り立つ性質A(x)...続きを読む

Q離散数学 数学的帰納法

大学の離散数学の問題で、

「3^n + 7^n は8で割ると2余る」ということを数学的帰納法で証明せよ

という問題があるのですが、うまく証明できず困っています。

n = kで成り立つとするときに、仮定の式をどのように立てるべきなのか、そもそもピンときません。

3^k + 7^k = 8*a + 2と置いてみて、3^(k+1) + 7^(k+1)を同じような形に変形しようと試みたり、

7^k = (6 + 1)^k のようにしてみて変形しようとしたりしたのですが、どれもうまくいかず・・・。

丸投げをするつもりはないので、解法のヒントをいただけるとありがたいです。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

あなたの言うとおりに
3^k+7^k=8a+2
とおいてみました。このとき3^(k+1)+7^(k+1)が8の倍数+2になっていることを確認できればいいのですね。
3^(k+1)+7^(k+1)
当然のようにk乗の形にしてみる
=3*3^k+7*7^k
仮定を使ってみる
=3*3^k+7*(8a+2-3^k)
8の倍数+2と分かる部分を括りだしてみる。
=8*(7a+2)+2+4*(3^k-1)
ここまでくれば簡単です。


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