ちくのう症(蓄膿症)は「菌」が原因!?

同値変形について質問です。

「焦点がF(3,0) F´(-3,0)で点A(-4,0)を通る楕円の方程式を求めよ。」

という問題なのですが、参考書の解答では

楕円上の任意の点をP(x,y)とし、
AF+AF´=8から、

√{(x-3)^2+y^2}+√{(x+3)^2+y^2}=8

両辺を2乗して整理すると、16√{(x+3)^2+y^2}=12x+64

両辺を4で割って、更に2乗すると

16(x^2+6x+9+y^2)=9x^2+96x+256

これを整理して、x^2/16 + y^2/7 = 1

という風に、答えを導いているのですが、
変形過程で2度「2乗」しています。


2乗すると同値ではなくなるというのは知っているのですが、
この場合は同値ではなくならないのでしょうか?



問題を解くときに、両辺を2乗していいときと悪いときがあるらしいのですが、それがよくわからなくて・・・。


また、どのようなときに、2乗しても同値性を失わないのでしょうか?
どのようなときに2乗すると同値ではなくなるのでしょうか?


あと、自分の知っている同値ではない変形は、「両辺を2乗する」ということのみなのですが、

他に気をつけたほうがいい、同値性を失ったりする変形には、どのようなものがあるのでしょうか?


今までここあたりをうやむやにして数学を解いていたため、たまに納得がいかなかったりします。。

どなたか教えてください><

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A 回答 (3件)

まず、



x^2/16 + y^2/7 = 1は、PF + PF' = 8を満たす任意のP(x,y)という
前提の下で導出された式なので、当然、PF + PF' = 8を満たす任意P(x,y)は、x^2/16 + y^2/7 = 1を満たす事は確実であり、
言うなればそうでなければ、PF + PF' = 8を満たす任意のP(x,y)とおいた意味自体がなくなってしまいます。
 

PF + PF' = 8を満たすP(x,y)
⇔√{(x-3)^2+y^2}+√{(x+3)^2+y^2}=8
⇔√{(x-3)^2+y^2}=8-√{(x+3)^2+y^2}

ここまでは、ピタゴラスの定理・等式の性質を利用した同値変形によって
同値性は保証されています。
だが、さらなる式変を形するために、両辺を2乗したあたりから同値性が崩れてしまう恐れもあります。では、両辺を2乗してしまう事によって何がどう変わってしまう可能性があるのかについて少し触れてみますと、

A=B ⇒ A^2=B^2であります。
しかし、逆については、

A^2-B^2=0⇔
(A-B)(A+B)=0
⇔A=BまたはA=-B

となってしまいます。

もうすこし具体的に述べると、例えば、x + y = 1を2乗すれば
(x+y)^2 = 1であるが、x + y = 1 ⇒ (x + y)^2 = 1は確実ですが、
(x + y)^2 = 1 ⇒ x + y = 1 or x + y = -1となってしまいます。
すなわち、x + y = 1を満たす集合(x,y)について、両辺を2乗する事に
よって、x + y = -1を満たす集合(x,y)という余計な情報まで加わってしまうわけです。だが、x + y = 1という集合自体は(x + y)^2 = 1の中に含まれており、これ自体が消えてしまう事はなく、余分なx + y = -1の集合を
式に含めてしまった事が問題なのです。また、x + y = 0の場合などは、
両辺を2乗しても同値になるはずです。

以上を踏まえ本題に戻ると、逆にx^2/16 + y^2/7 = 1を満たす全てのP(x,y)は、PF + PF' = 8を満たす事を示せば良いだけです。
もしくは、x^2/16 + y^2/7 = 1を満たすP(x,y)のうち、PF + PF' ≠ 8
となるものは存在しない事を示せば良いのです。その方が導出過程にて2乗する事で同値性が失われていない事を示すよりかは効率的でシンプルです。
これは結果として途中過程で2乗しても支障はなかった事が言えるわけです。もし支障があるならば、再検討する必要があります。

ちなみに、x^2/16 + y^27 = 1を満たすP(x,y)の中に、PF + PF' ≠8となるようなものが含まれていない事を証明するには、楕円方程式の導出過程に立ち返れば容易に証明できそうです。

PF + PF' = 2a
F(f,0),
F'(-f,0)
(a > f)
(a < fはあり得ない、なぜなら、△PFF'にならないので、PF,PF'を構成する事が出来ない,また、a = fのときは、Pは原点Oのみにしか存在しなくなるので楕円方程式としては対象外である)

とおくと、楕円方程式は、x^2/a^2 + y^2/(a^2-f^2) = 1と導出されます。
ここで、PF + PF' = 2b (b≠a)となるような(x0,y0)が存在すると仮定します。

(x0,y0)は、x^2/a^2 + y^2/(a^2-f^2) = 1上の点より、

(x0)^2/a^2 + (y0)^2/(a^2-f^2) = 1 ---- (1)

PF + PF' = 2b ⇒ x^2/b^2 + y^2/(b^2-f^2) = 1より、

(x0)^2/b^2 + (y0)^2/(b^2-f^2) = 1 ---- (2)

(1)/b^2-(2)/a^2 より、

{1/b^2(a^2-f^2) - 1/a^2(b^2-f^2)}y^2 = (1/b^2 - 1/a^2) ---- (3)
両辺にa^2b^2をかけると、
{a^2/(a^2-f^2) - b^2/(b^2-f^2)}y^2 = a^2 - b^2----(4)

y^2 = (a^2-b^2)/{a^2/(a^2-f^2) - b^2/(b^2-f^2)}
y^2 = (a^2-b^2)(a^2-f^2)(b^2-f^2)/{(b^2-a^2)f^2}
= -(a^2-f^2)(b^2-f^2)/f^2 < 0
となり、yの値は存在しないので矛盾する事より、
x^2/16 + y^2/7 = 1を満たすP(x,y)のうち PF + PF' ≠ aとなる
ものは存在しない。
ゆえに、x^2/16 + y^2/7 = 1を満たすP(x,y) ⇔ PF + PF' = aを満たすP(x,y)であるといえます。

おそらく、授業では同値性についてまで言及しないと思いますが、やはり確認する事、質問者さんのようにその事に気付く事は非常に大切な事であると思います。
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なぜ2乗すると同値でなくなるか理解していますか?


a=bならばa^2=b^2は正しいですが、
a^2=b^2ならばa=bは正しくありません。
反例は、a=1、b=-1のときです。
2乗してしまうともとの数字の符号の情報が消えてしまうので
同値でなくなってしまう可能性があるのです。

しかし、ある条件がつけば、2乗しても同値になることがあります。
たとえば、aとbが両方とも正であるなど、
符合があらかじめわかっている場合などです。

>√{(x-3)^2+y^2}+√{(x+3)^2+y^2}=8
>両辺を2乗して整理すると、16√{(x+3)^2+y^2}=12x+64

2乗した後で同値でなくなる気がしますが、
2乗する前の両辺は明らかに正の数です。
a^2=b^2かつ、a>0,b>0 ならば a=bはいえるので
2乗しても大丈夫なのです。

2回目の2乗のところでも、
両辺が正であることを言えば問題ありません。
>16√{(x+3)^2+y^2}=12x+64
しかし、今回はちょっと問題です。
左辺は√なのですぐに正だとわかりますが、
右辺はxの値によっては負になることもあります。

こういう場合は、とりあえず2乗して、
その後、得られる結果が「12x+64が0以上」を満たすかどうかを
チェックする必要があります。
もし12x+64<0になるxがあれば、それは答えから除かないといけません。
今回は、xのとりうる範囲は-4以上なので問題はないのですが。


2乗したらいつも同値性が崩れるわけではありません。
2乗することに何が問題なのかを理解できれば、
2乗してもいいとき、2乗するときに気をつけないといけないことが
わかると思います。
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>2乗すると同値ではなくなるというのは知っているのですが、


>この場合は同値ではなくならないのでしょうか?
論理展開としては同値性を失っています。

質問者さんの書かれた解答のままですと、「AF+AF´=8 を満たす点 (x, y) は x^2/16 + y^2/7 = 1 を満たす」が示されたのみです。

x^2/16 + y^2/7 = 1 を満たす点「すべて」が AF + AF' = 8 を満たすことは示されていません。

しかし、楕円の性質として、焦点の距離の和が一定であることが知られているので、逆を示すことが省略されているのでしょう。
私が採点者なら減点です。
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Q2乗しても同値性が崩れないときと崩れるとき

2乗しても同値性が崩れないときともう一つの解が割り込んできて同値性が崩れるときはそれぞれどのような場合なのでしょうか。よく方程式の両辺を2乗してルートをはずしたり、代入しやすくしたりすると思うのですが、問題をやっていて「ここで2乗してもいいのかな?」といつも迷ってしまいます。このようにならないためにはどのようなことに気をつければよいのでしょうか。

例);2乗してもいいとき

X=-1/2(α+β){[(α+β)^2]-1}・・・(1)
Y=3/4[(α+β)^2]+3/4・・・(2)

ここでXとYの関係式を作るために(2)を(α+β)^2=・・・の形にして置いて・・・(2)”、(1)の両辺を2乗して(α+β)^2を作り出しておいてから(2)”を(1)に代入するというものです。

Aベストアンサー

OKじゃ!x実数⇒t実数はよいが、その逆、tが実数→x実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは!

x実数⇔t実数かつ(tは正または0)  
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでOK!

<まとめ>
同値関係が崩れる可能性のあるパターン
1.分母を払うとき
2.等式、不等式の両辺を平方するとき
3.2つの等式、不等式を加減するとき
4.式の一部を他の文字で置き換えるとき

s-wordさんの謎もこれで解決したはず。2乗(平方)したら、同値関係は崩れると思ったほうが良い。代入(加減)も同じ。(もちろん、崩れない場合もある)解決法は、平方の場合は、最初の条件にもどって検討する。代入(加減)の場合は、代入した式に戻って検討する。

ちなみに、7の問題は大変な良問で、いろいろな解法が出来ます。私はパラメ-タaを分離して、解決しました。これは、受験数学のテクニックのひとつで、aとxが伴って変わらくて、しかもaとxを分離することが容易な場合に威力を発揮します。また、xについての二次方程式でもあるので、判別式を利用して解くことも出来るし、さらにs-wordさんの解で、特殊な絶対不等式を使うことも出来る。この絶対不等式は、私は気づきませんでした。問題の型を見た瞬間に、パラメタ分離→微分して調べるという構図が浮かんでしまったからです。某料理会の○皇様が、料理は工夫しすぎるということはない。さらなる工夫をもって精進せいよなどどと言っていたのを思い出しました。まったく数学は奥が深いのう。

OKじゃ!x実数⇒t実数はよいが、その逆、tが実数→x実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは!

x実数⇔t実数かつ(tは正または0)  
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでOK!

<まとめ>
同値関係が崩れる可能性のあるパターン
1.分母を払うとき
2.等式、不等式の両辺を平方するとき
3.2つの等式、不等...続きを読む

Q連立方程式を代入法で解くか、同値変形で解くか

二つの連立方程式
2x-y-1=0
x+y-2=0
を解くにあたって、
上の式は
3x-3=0
x+y-2=0
と同値である。
と言われたのですが、
私には同値変形と代入法の違いが分かりませんでしたし、
また同値変形したときに、"3x-3=0かつx+y-2=0"のように2式を足したもの(または引いたもの)かつ元の式いずれかになるのかも分かりません。
どなたか説明して頂ければ幸いです。

Aベストアンサー

こんばんは。

「同値変形」という言葉は初めて聞きましたが、
しかし、わかりましたよ。

「同値」というのは、論理で出てくる「同値」と同じことです。
記号で言えば、「≡」や「⇔」のことです。

つまり、
2x-y-1=0
x+y-2=0
という連立一次方程式は、
2つの式の加減法で求めた3x-3=0を2x-y-1=0の代わりに用いて
3x-3=0
x+y-2=0
と書いても同値であるし、
2番目の式をxについて解いたx=-y+2を用いて
2x-y-1=0
x=-y+2
と書いても同値です。

つまり、加減法も代入法も、同値変形の一種です。

元々2本の式しかありませんから、加減法や代入法で出てきた式を使って3本以上の式を「作成」しても、そのうち独立なものは2本しかありません。
たとえば、
2x-y-1=0
x+y-2=0
3x-3=0
という3本の式のうち、1本は使わなくても解けてしまいます。
(つまり、1本捨てた残りの2本が、元の方程式と「同値」です。

また、
たとえば、2番目の式と、それを2倍にしたものだけで
x+y-2=0
2x+2y-4=0
という連立方程式を「作成」しても、答えは出ません。

まとめると、
同値変形とは、
「互いに独立なn本の一次方程式からなるn元連立一次方程式を、
 そのn本の式のどれかを使って、
 ほかの、互いに独立なn本の方程式からなる連立方程式に
 変形すること。」


ただし、
「余分な式」であっても、方程式を解く計算途中で用いることは、いっこうに構いません。

こんばんは。

「同値変形」という言葉は初めて聞きましたが、
しかし、わかりましたよ。

「同値」というのは、論理で出てくる「同値」と同じことです。
記号で言えば、「≡」や「⇔」のことです。

つまり、
2x-y-1=0
x+y-2=0
という連立一次方程式は、
2つの式の加減法で求めた3x-3=0を2x-y-1=0の代わりに用いて
3x-3=0
x+y-2=0
と書いても同値であるし、
2番目の式をxについて解いたx=-y+2を用いて
2x-y-1=0
x=-y+2
と書いても同値です。

つまり、加減法も代入法も、同値変形の一種で...続きを読む

Q同値性の崩壊

定円x^2+y^2=r^2の周上を点P(x,y)が動くとき,座標が(y^2-x^2xy)で表される点Qはどんな曲線を動くか。

x^2+y^2=r^2から,P(x,y)とするとx=rcosΘ,y=rsinΘと表される。Q(X,Y)とすると
X=y^2-x^2=-r^2cos2Θ
Y=r^2sin2Θ
よってX^2+Y^2=r^4(cos^22Θ+sin^22Θ)=r^4
ゆえに,点Qは円x^2+y^2=(r^2)^2の周上を動く。

教えてほしいところ
この問題を解き方が違和感があります。
X=y^2-x^2=-r^2cos2Θ
Y=r^2sin2Θ
を両辺正でなければ2乗してしまうと同値性崩れますよね?
また、2乗したものをそのまま足す場合、同値性は崩れる心配はないんですか??
この問題を上のように解いて、同値性が崩れる心配がないもしくは同値性が保たれるのは自明である理由を教えてください。

Aベストアンサー

円x^2+y^2=r^2を円A,円x^2+y^2=(r^2)^2を円Bとする。
点P(x,y)が円Aの円周上をぐるぐる回って、それに応じて点Qが決まる。
その回転が左(右)回りならx=rcosΘ,y=rsinΘのΘが増加(減少)するということなので、Θは実数全体を動く。
点Q(X,Y)のX=-r^2cos2Θ,Y=r^2sin2ΘのΘはPの座標を決めるΘによって決まるΘなので,こちらも実数全体を動く。
このことから、ある点T(x,y)についてx=-r^2cos2Θ,y=r^2sin2Θなら点Tは点Qであるといえる。

質問の同値性を示すには、円Bの円周上の任意の点は点Qである、ということが証明できればよい。
流れだけいうと、円Bの円周上の点x=r^2cosΘ,y=r^2sinΘ,からx,yを上の形に変形できればよい。変形については回答3が参考になる。

Q軌跡と存在するための条件について

疑問に思ってしまったので、どうかよろしくお願いします。

問題)2直線mx-y+4m+21=0、x+my+3m-14=0の交点の軌跡を求めよ。

答え)点(X,Y)が求める軌跡上の点であるための条件は、
mX-Y+4m+21=0 かつ X+mY+3m-14=0
を満たす実数mが存在することである。上式をmについて整理すると、
(X+4)m-Y+21=0------(1) かつ X-14+(Y+3)m=0------(2)
となるから、その条件は、

その1) X+4≠0のとき、(1)によって定まる定数m=(Y-21)/(X+4)が(2)を満たすこと、
すなわち、X-14+(Y+3)・(Y-21)/(X+4)=0
∴(X-5)^2+(Y-9)^2=15^2----(3)(ただし、X≠-4より(-4,-3),(-4,21)は除く)

その2)X+4=0のとき(1)を満たす実数mが存在するための条件は、(X,Y=(-4,21)

以上により、求める軌跡は、円(x-5)^2+(y-9)^2=15^2、ただし、点(-4,-3)は除く


疑問点)(1)かつ(2)の条件を求めるときに、「mが存在するためのX,Yの条件を求めるのに、mを消去して得られる」との事なのですが、いまいちこの技術が見えません・・・どうしてmを消去することにより、mが存在するためのX,Yの条件が求まるのでしょうか。

良く、参考書には「文字定数を消去することにより出来た方程式で、その軌跡を得ることになる」とありその通りに使っていたのですがどういう事が起きているのか良く分からないのです・・・

高校数学のレベルなら、その通り覚えて使っていくほうが良いのでしょうか?

疑問に思ってしまったので、どうかよろしくお願いします。

問題)2直線mx-y+4m+21=0、x+my+3m-14=0の交点の軌跡を求めよ。

答え)点(X,Y)が求める軌跡上の点であるための条件は、
mX-Y+4m+21=0 かつ X+mY+3m-14=0
を満たす実数mが存在することである。上式をmについて整理すると、
(X+4)m-Y+21=0------(1) かつ X-14+(Y+3)m=0------(2)
となるから、その条件は、

その1) X+4≠0のとき、(1)によって定まる定数m=(Y-21)/(X+4)が(2)を満たすこと、
すなわち、X-14+(Y+3)・(Y-21)/(X+4)=0
∴(X-5)^...続きを読む

Aベストアンサー

専門ではありませんが,回答が出ないようなので。

与えられた2式は,mの値が連続的に変わるにつれて表す直線が変わり
そのために交点が動いていくわけですね。ですから,mを消去する
ことでmの値にかかわらない(X,Y)の関係すなわち軌跡が求まる
わけです。これは,ちょうど媒介変数表示で媒介変数を消去して
直接的な関係を求める操作と似ています。たとえば,
 x=r cosθ
 y=r sinθ
において媒介変数θを消去して,x^2 + y^2 = r^2 を得るという
ようなことです。

一方,mを消去する過程でx+4≠0(またはy+3≠0)を前提しなければ
ならないので,じゃあx=-4(またはy=-3)のときはどうなるのか?
を検討しなければならないというわけです。すると円周上の点(-4,-3)
はいかなるmをとっても(1)かつ(2)を満たさず,どんな場合の交点
にもなりえないことがわかるのです。

高校数学のレベルだからこそ,納得をすることが大切でマニュアルに
流れてしまうと本物の力になりません。がんばってください。

専門ではありませんが,回答が出ないようなので。

与えられた2式は,mの値が連続的に変わるにつれて表す直線が変わり
そのために交点が動いていくわけですね。ですから,mを消去する
ことでmの値にかかわらない(X,Y)の関係すなわち軌跡が求まる
わけです。これは,ちょうど媒介変数表示で媒介変数を消去して
直接的な関係を求める操作と似ています。たとえば,
 x=r cosθ
 y=r sinθ
において媒介変数θを消去して,x^2 + y^2 = r^2 を得るという
ようなことです。

一方,mを消去する過程でx+4...続きを読む

Q偏角を表す「arg」の読み方

 どなたか教えて下さい!!

偏角を表す記号「arg」はなんて読めばいいのでしょうか?
 
 至急お願い致します。m(__)m

Aベストアンサー

とりあえずオンライン辞書として使ってみたらどうでしょう?

参考URL:http://www.alc.co.jp/sa_menu.html

Q軌跡の問題の答え方

軌跡の問題を解いているのですが、
軌跡の方程式を導いたあと、逆にそのとき条件を満たすことを示すように。
と参考書に書いてあるのですが、たとえば点Pの軌跡(直線)を求めるときの解答では、
「逆に、この直線上の任意の点Pは、条件を満たす。」
とあるのですが、これはただ満たすという事実を書くだけで、証明のようにはしなくてよいのでしょうか?
それなら、こんなことを書くぐらい誰だってできるので省略して良い気がするのですが…

Aベストアンサー

あまり高校の参考書では触れられていないのですが、
>「逆に、この直線上の任意の点Pは、条件を満たす。」
といった言葉を書くか、書かないかはどうのようにして解いたのかによるのです。

詳しくいうと、例えば点の軌跡を求める際に同値変形をして求めたならば書かなくていいです。しかし、必要条件を用いて点の軌跡を求めたのなら、やはり上のような言葉を書く必要がありますし、厳密には逆を証明しなくてはなりません。

つまり、軌跡の問題に限らず他の数学の問題でもそうですが、同値な条件を常に意識するということが大切です。特に軌跡などの問題では、同値性を意識しないと全く答えが合わないことがあるので要注意です。この意識があると数学の理解がぐっと深まります。

Q複素数の絶対値の性質について

なぜ、複素数zと共役な複素数zをかけた場合、絶対値zの2乗になるのでしょうか?
また、複素数に絶対値がつくというのは、どういうことを意味しているのか教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんは。

>>>なぜ、複素数zと共役な複素数zをかけた場合、絶対値zの2乗になるのでしょうか?

x+iy の共役複素数は、x-iy である、と定義し、
x+iy の絶対値は、√(x^2 + y^2) である、と定義しているからです。

共役複素数同士をかけると、
(x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2
となりますから、根号をかぶせれば絶対値の定義と同じになりますよね。



>>>また、複素数に絶対値がつくというのは、どういうことを意味しているのか教えてください。

絶対値という概念は、x+iy をX-Y座標系の点(x,y)で表したときの、
その点の原点Oからの距離を表すということで重要です。

原点(0,0)を中心とする半径1の円を描いたとします。
すると、絶対値が1の複素数は、円周上にあります。(当然ながら、三平方の定理)
これが重要です。


たとえば、1の3乗根は、3つあります。
・1
・(-1+√3i)/2  (ω という記号で表すことがある)
・(-1-√3i)/2  (ω^2 という記号で表すことがある)
どれも、同じものを3回掛けると1になります。

これらをXY座標系にプロットしてみますと、
・(1, 0)
・(-1/2, √3i/2)
・(-1/2, -√3i/2)
の3点になります。
すると、これら3点は、座標(1,0)のところを始点にして、反時計回りに、
・0周 (0度)
・3分の1周  (120度)
・3分の2周  (240度)
のところにあります。

これを知っていると、他の実数の3乗根を求めるのは簡単です。

27の3乗根は、
・3×1
・3×(-1+√3i)/2  (ω という記号で表すことがある)
・3×(-1-√3i)/2  (ω^2 という記号で表すことがある)
の3つです。

何となく、わかりませんか?

絶対値が1より大きいか小さいか、はたまた、ぴったり1か、ということは、非常に重要です。


また、1の4乗根は4つあり、
それは、1、i、-1、-i です。
これらは(説明は省きますが)、0度、90度、180度、270度に対応します。

言い換えれば、「1の?乗根」は、すべて図解で求まります。


では、16の4つの4乗根は、何でしょうか?
・・・とクイズを出したところで、失礼します。

ご参考になりましたら。

こんばんは。

>>>なぜ、複素数zと共役な複素数zをかけた場合、絶対値zの2乗になるのでしょうか?

x+iy の共役複素数は、x-iy である、と定義し、
x+iy の絶対値は、√(x^2 + y^2) である、と定義しているからです。

共役複素数同士をかけると、
(x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2
となりますから、根号をかぶせれば絶対値の定義と同じになりますよね。



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Q分母にxのある方程式の解き方を教えて頂けますか?

分母にxのある方程式の解き方を教えて頂けますか?

15/(6-x)-15/(7-x)=1/2

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんは。

両辺に、2(6-x)(7-x)をかけましょう。
そうすれば、分母からxがなくなります。

分母に(6-x)や(7-x)があるせいで困っているのだから、
分母からこれらをなくしてやればいいという発想ですね。

以下、ご参考まで。
15/(6-x)-15/(7-x)=1/2 ←元の方程式
30(7-x)-30(6-x)=(6-x)(7-x)
210-30x-180+30x=42-13x+x^2
(x^2)-13x+12=0
(x-1)(x-12)=0   ∴x=1,12

Q数学の講師仲間である議論,どちらの同値変形が真?

こんにちは。高校の数学の講師仲間である議論になりました。
人によって違う意見で、正しい意見が分からなくなりました。

文字はすべて実数とします。

y=x+2 かつ x=1 ⇔ y=3

y=x+2 かつ x=1 ⇔ y=3 かつ x=1

どちらが正しいですか? それともどちらでもいいですか?

x+z=y+z ⇔ x=y

x+z=y+z ⇔ x=y かつ zは任意

どちらが正しいですか? それともどちらでもいいですか?

Aベストアンサー

● ANo.1 の [お礼]欄 において、ddgddddddd さん は次のとおりに記述なさいました。

  条件「 y = x + 2 かつ x = 1 」を満たす集合を求めよ。

  これが設問の文章であるとするならば、記述が不十分ではないかと、私は思います。私が思いついた設問の文案は、例えば、次の 2つ です。

・ 条件「 y = x + 2 かつ x = 1 」を満たす ? から成る集合を求めよ。
・ 条件「 y = x + 2 かつ x = 1 」を満たす ? をすべてかき集めて作った集合を求めよ。

  ? の部分が、仮に、y であるとするならば、その集合は、次のとおりに表記されるのではないかと、私は思います。

1) {y| y = x + 2 かつ x = 1} = {y| (y = x + 2)∧(x = 1)}

  上記の 1) は x に依存する集合です。ですから、その集合を P(x) などと表記しても支障はないでしょう。

1) P(x) = {y| y = x + 2 かつ x = 1} = {y| (y = x + 2)∧(x = 1)}

  x = 1 のとき、P(x) = {y| y = 3} = {3} となります。そして、x ≠ 1 のとき、P(x) = φ となります。

  次に、? の部分が、仮に、(x, y) であるとするならば、その集合は、次のとおりに表記されるのではないかと、私は思います。

2) {(x, y)| y = x + 2 かつ x = 1} = {(x, y)| (y = x + 2)∧(x = 1)}

  このとき、2) は {(1, 3)} でよいのではないでしょうか。もちろん、{(x, y)| y = 3 かつ x = 1} と表記しても支障はないと、私は思います。

● また、ANo.1 の [お礼]欄 において、ddgddddddd さん は次のとおりに記述なさいました。

  x + z = y + z となる必要十分条件を求めよ。
  (答) x = y
  (答) x = y かつ z は任意

  この 2つ の答えはどちらも正しいと、私は思います。その理由は次のとおりです。

  最後の「 z は任意 」という条件は、z ∈ R ( R は実数全体の集合を表わす記号であるとします ) という条件と同じであると、私は思います。私のこの説が正しいとする場合、考察の対象となる全称命題の形は、次の 3) と 4) になります。

  A(x) = (x ∈ R)
  B(y) = (y ∈ R)
  C(z) = (z ∈ R)
  D(x, y, z) = (x + y = y + z)
  E(x, y) = (x = y)

3) ∀x(∀y(∀z((A∧B∧C)→(D←→E))))
4) ∀x(∀y(∀z((A∧B∧C)→(D←→(C∧E)))))

  (A∧B∧C)→(D←→E) と (A∧B∧C)→(D←→(C∧E)) とは同値です。

● 以上における私の記述がまちがっていましたら、ひらにごめんなさい。また、私の記述の中にわかりにくい個所・まちがいではないかと思われる個所がありましたら、[補足]機能 を利用するなどして、遠慮なくご指摘ください。

● ANo.1 の [お礼]欄 において、ddgddddddd さん は次のとおりに記述なさいました。

  条件「 y = x + 2 かつ x = 1 」を満たす集合を求めよ。

  これが設問の文章であるとするならば、記述が不十分ではないかと、私は思います。私が思いついた設問の文案は、例えば、次の 2つ です。

・ 条件「 y = x + 2 かつ x = 1 」を満たす ? から成る集合を求めよ。
・ 条件「 y = x + 2 かつ x = 1 」を満たす ? をすべてかき集めて作った集合を求めよ。

  ? の部分が、仮に、y であるとするならば、その集合は、次...続きを読む

Q数学 同値と必要十分の意味について

すみません。教えて下さい。

命題のところで、一般には、偽になりうる双条件文
P ⇔ Q
のことを同値命題と言い、

これが、恒真命題のときに、PとQ はたがいに必要十分条件であると言うと、書籍に書かれております。

一方で、高校数学での、平方するなどの一部の式変形を除く、いわゆる解の集合が保存されるような式変形を同値変形と言うと思います。変形前の式を命題P 、変形後をQ とおくと、両者は恒真命題になるので、必要十分な変形を意味していると思います。

当然、必要十分な命題も、同値命題の一部なので、
言葉としては間違っていないのでしょうが、高校数学で、同値変形といった場合、必要十分な関係にあるととらえていいのでしょうか?

また、等価ということばも、必要十分の意味と思われますが、よいのでしょうか?

以前から気になってました。ご指導願います。

Aベストアンサー

ANo.5へのコメントについてです。

> 難しいですね。

 命題論理の論理式であって、「3は実数である」が真でも偽でも成り立つような恒真式、というものだって作れる。その際には「3は実数である」の中身は一切詮索する必要がなく、だから「A」に置き換えても同じなわけです。
 逆に言えば、中身をこそ問題にしたいときには「等号を持つ一階述語論理」と「集合論」使わなくちゃ、ということです。


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