同値変形について。

同値変形について質問です。

「焦点がF(3,0) F´(-3,0)で点A(-4,0)を通る楕円の方程式を求めよ。」

という問題なのですが、参考書の解答では

楕円上の任意の点をP(x,y)とし、
AF+AF´=8から、

√{(x-3)^2+y^2}+√{(x+3)^2+y^2}=8

両辺を２乗して整理すると、16√{(x+3)^2+y^2}=12x+64

両辺を4で割って、更に２乗すると

16(x^2+6x+9+y^2)=9x^2+96x+256

これを整理して、x^2/16 + y^2/7 = 1

という風に、答えを導いているのですが、
変形過程で２度「２乗」しています。


２乗すると同値ではなくなるというのは知っているのですが、
この場合は同値ではなくならないのでしょうか？



問題を解くときに、両辺を２乗していいときと悪いときがあるらしいのですが、それがよくわからなくて・・・。


また、どのようなときに、２乗しても同値性を失わないのでしょうか？
どのようなときに２乗すると同値ではなくなるのでしょうか？


あと、自分の知っている同値ではない変形は、「両辺を２乗する」ということのみなのですが、

他に気をつけたほうがいい、同値性を失ったりする変形には、どのようなものがあるのでしょうか？


今までここあたりをうやむやにして数学を解いていたため、たまに納得がいかなかったりします。。

どなたか教えてください＞＜

No.3 回答者： syouji_08 回答日時： 2007/07/17 21:41

まず、

x^2/16 + y^2/7 = 1は、PF + PF' = 8を満たす任意のP(x,y)という
前提の下で導出された式なので、当然、PF + PF' = 8を満たす任意P(x,y)は、x^2/16 + y^2/7 = 1を満たす事は確実であり、
言うなればそうでなければ、PF + PF' = 8を満たす任意のＰ（x,y)とおいた意味自体がなくなってしまいます。
　

PF + PF' = 8を満たすP(x,y)
⇔√{(x-3)^2+y^2}+√{(x+3)^2+y^2}=8
⇔√{(x-3)^2+y^2}=8-√{(x+3)^2+y^2}

ここまでは、ピタゴラスの定理・等式の性質を利用した同値変形によって
同値性は保証されています。
だが、さらなる式変を形するために、両辺を２乗したあたりから同値性が崩れてしまう恐れもあります。では、両辺を２乗してしまう事によって何がどう変わってしまう可能性があるのかについて少し触れてみますと、

Ａ＝Ｂ　⇒　Ａ＾２＝Ｂ＾２であります。
しかし、逆については、

Ａ＾２－Ｂ＾２＝０⇔
(Ａ－Ｂ)(Ａ＋Ｂ）＝０
⇔Ａ＝ＢまたはＡ＝－Ｂ

となってしまいます。

もうすこし具体的に述べると、例えば、x + y = 1を2乗すれば
(x+y)^2 = 1であるが、x + y = 1 ⇒ (x + y)^2 = 1は確実ですが、
(x + y)^2 = 1 ⇒ x + y = 1 or x + y = -1となってしまいます。
すなわち、x + y = 1を満たす集合(x,y)について、両辺を２乗する事に
よって、x + y = -1を満たす集合(x,y)という余計な情報まで加わってしまうわけです。だが、x + y = 1という集合自体は(x + y)^2 = 1の中に含まれており、これ自体が消えてしまう事はなく、余分なx + y = -1の集合を
式に含めてしまった事が問題なのです。また、x + y = 0の場合などは、
両辺を２乗しても同値になるはずです。

以上を踏まえ本題に戻ると、逆にx^2/16 + y^2/7 = 1を満たす全てのP(x,y)は、PF + PF' = 8を満たす事を示せば良いだけです。
もしくは、x^2/16 + y^2/7 = 1を満たすP(x,y)のうち、PF + PF' ≠ 8
となるものは存在しない事を示せば良いのです。その方が導出過程にて２乗する事で同値性が失われていない事を示すよりかは効率的でシンプルです。
これは結果として途中過程で２乗しても支障はなかった事が言えるわけです。もし支障があるならば、再検討する必要があります。

ちなみに、x^2/16 + y^27 = 1を満たすP(x,y)の中に、PF + PF' ≠8となるようなものが含まれていない事を証明するには、楕円方程式の導出過程に立ち返れば容易に証明できそうです。

PF + PF' = 2a
F(f,0),
F'(-f,0)
(a > f)
(a ＜ fはあり得ない、なぜなら、△PFF'にならないので、PF,PF'を構成する事が出来ない,また、a = fのときは、Pは原点Ｏのみにしか存在しなくなるので楕円方程式としては対象外である）

とおくと、楕円方程式は、x^2/a^2 + y^2/(a^2-f^2) = 1と導出されます。
ここで、PF + PF' = 2b (b≠a)となるような(x0,y0)が存在すると仮定します。

(x0,y0)は、x^2/a^2 + y^2/(a^2-f^2) = 1上の点より、

(x0)^2/a^2 + (y0)^2/(a^2-f^2) = 1 ---- (1)

PF + PF' = 2b ⇒ x^2/b^2 + y^2/(b^2-f^2) = 1より、

(x0)^2/b^2 + (y0)^2/(b^2-f^2) = 1 ---- (2)

(1)/b^2-(2)/a^2 より、

{1/b^2(a^2-f^2) - 1/a^2(b^2-f^2)}y^2 = (1/b^2 - 1/a^2) ---- (3)
両辺にa^2b^2をかけると、
{a^2/(a^2-f^2) - b^2/(b^2-f^2)}y^2 = a^2 - b^2----(4)

y^2 = (a^2-b^2)/{a^2/(a^2-f^2) - b^2/(b^2-f^2)}
y^2 = (a^2-b^2)(a^2-f^2)(b^2-f^2)/{(b^2-a^2)f^2}
= -(a^2-f^2)(b^2-f^2)/f^2 < 0
となり、yの値は存在しないので矛盾する事より、
x^2/16 + y^2/7 = 1を満たすP(x,y)のうち PF + PF' ≠ aとなる
ものは存在しない。
ゆえに、x^2/16 + y^2/7 = 1を満たすP(x,y) ⇔ PF + PF' = aを満たすP(x,y)であるといえます。

おそらく、授業では同値性についてまで言及しないと思いますが、やはり確認する事、質問者さんのようにその事に気付く事は非常に大切な事であると思います。

No.2 回答者： ---------- 回答日時： 2007/07/16 15:51

なぜ２乗すると同値でなくなるか理解していますか？

a=bならばa^2=b^2は正しいですが、
a^2=b^2ならばa=bは正しくありません。
反例は、a=1、b=-1のときです。
２乗してしまうともとの数字の符号の情報が消えてしまうので
同値でなくなってしまう可能性があるのです。

しかし、ある条件がつけば、２乗しても同値になることがあります。
たとえば、aとbが両方とも正であるなど、
符合があらかじめわかっている場合などです。

>√{(x-3)^2+y^2}+√{(x+3)^2+y^2}=8
>両辺を２乗して整理すると、16√{(x+3)^2+y^2}=12x+64

２乗した後で同値でなくなる気がしますが、
２乗する前の両辺は明らかに正の数です。
a^2=b^2かつ、a>0,b>0 ならば a=bはいえるので
２乗しても大丈夫なのです。

２回目の２乗のところでも、
両辺が正であることを言えば問題ありません。
>16√{(x+3)^2+y^2}=12x+64
しかし、今回はちょっと問題です。
左辺は√なのですぐに正だとわかりますが、
右辺はxの値によっては負になることもあります。

こういう場合は、とりあえず２乗して、
その後、得られる結果が「12x+64が0以上」を満たすかどうかを
チェックする必要があります。
もし12x+64<0になるxがあれば、それは答えから除かないといけません。
今回は、xのとりうる範囲は-4以上なので問題はないのですが。


２乗したらいつも同値性が崩れるわけではありません。
２乗することに何が問題なのかを理解できれば、
２乗してもいいとき、２乗するときに気をつけないといけないことが
わかると思います。

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/07/16 14:00

>２乗すると同値ではなくなるというのは知っているのですが、

>この場合は同値ではなくならないのでしょうか？
論理展開としては同値性を失っています。

質問者さんの書かれた解答のままですと、「AF+AF´=8 を満たす点 (x, y) は x^2/16 + y^2/7 = 1 を満たす」が示されたのみです。

x^2/16 + y^2/7 = 1 を満たす点「すべて」が AF + AF' = 8 を満たすことは示されていません。

しかし、楕円の性質として、焦点の距離の和が一定であることが知られているので、逆を示すことが省略されているのでしょう。
私が採点者なら減点です。