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2次元球面上に、零点を1つしかもたない滑らかなベクトル場を構成せよ。
という問題が解けません誰か教えてください。

A 回答 (3件)

この問題はPoincare-Hopfの定理(一種の指数定理)と関係しています。


Poincare-Hopfの定理の内容は、ベクトル場の特異点(ゼロ点)と空間の
オイラー数(位相不変量:球面の場合は2)の関係をつけるものです。
ベクトル場の特異点は指数がついています。位相幾何学の本に書いてあると思うのですが、湧き出し、吸い込み、鞍点と分類があり、それぞれ、1、1、-1となってると思います。これらの和はオイラー数に等しくなければなりません。
したがって、湧き出しまたは吸い込みが一つづつあるようなベクトル場(南極ー>北極の流れ)をつくり、2つの点を近づける極限を考えればよいです。これは、双極子が一点にあるような流れです。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。助かりました。

お礼日時:2001/01/28 21:00

球面上に小さい棒磁石を乗せます。

この磁石の磁力線を描いてみましょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。具体的でわかりやすかったです。

お礼日時:2001/01/28 21:01

球面-{1点} から平面への射影 p を考える。



このとき

p^(-1) ・平行移動・p

という変換を考えると、これは 1点だけ固定しそう。

これを参考にベクトル場をつくればいいのでは?
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