2次元球面上に、零点を1つしかもたない滑らかなベクトル場を構成せよ。
という問題が解けません誰か教えてください。

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A 回答 (3件)

この問題はPoincare-Hopfの定理(一種の指数定理)と関係しています。


Poincare-Hopfの定理の内容は、ベクトル場の特異点(ゼロ点)と空間の
オイラー数(位相不変量:球面の場合は2)の関係をつけるものです。
ベクトル場の特異点は指数がついています。位相幾何学の本に書いてあると思うのですが、湧き出し、吸い込み、鞍点と分類があり、それぞれ、1、1、-1となってると思います。これらの和はオイラー数に等しくなければなりません。
したがって、湧き出しまたは吸い込みが一つづつあるようなベクトル場(南極ー>北極の流れ)をつくり、2つの点を近づける極限を考えればよいです。これは、双極子が一点にあるような流れです。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。助かりました。

お礼日時:2001/01/28 21:00

球面上に小さい棒磁石を乗せます。

この磁石の磁力線を描いてみましょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。具体的でわかりやすかったです。

お礼日時:2001/01/28 21:01

球面-{1点} から平面への射影 p を考える。



このとき

p^(-1) ・平行移動・p

という変換を考えると、これは 1点だけ固定しそう。

これを参考にベクトル場をつくればいいのでは?
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Q次のベクトルの組は、それぞれR^3の基底になるかどうか判定せよ。

次のベクトルの組は、それぞれR^3の基底になるかどうか判定せよ。
(1)
(0)
(-1)
,
(0)
(1)
(1)
,
(3)
(4)
(5)
,
(0)
(1)
(0)

…という問題ですが、答えは「基底ではない」となっています。
しかし、任意のベクトル、例えば
(1)
(2)
(3)
を表したいときは上のベクトルの組に
(1)
(4)
(0)
(-2)
を掛ければ表現できますよね?
では、なぜ答えは「基底ではない」のですか?
3行目は常に0になるでしょうけど、
任意のベクトルが表現できさえすれば基底になるんじゃないですか?

Aベストアンサー

条件 (1) があることを確認できたなら、ok。
この例題は、ソレで完了です。

補足の文章は、♯3 も指摘しているように、
数学語で書けていないけれど。
(添字の書き方のことをいってるんじゃ
ないですよ。文字の意味を定義または説明せずに
使っていることが、異世界です。)

Qaベクトル・bベクトル×aベクトル・bベクトル=|aベクトル・bベクト

aベクトル・bベクトル×aベクトル・bベクトル=|aベクトル・bベクトル|^2じゃあないんですか?

例えば aベクトル・aベクトル=|aベクトル|^2じゃないですか?

なので、aベクトル・bベクトル×aベクトル・bベクトル=|aベクトル・bベクトル|^2もしくは
|aベクトル|^2|bベクトル|^2かな?と思ったのですが、解答では

(aベクトル・bベクトル)^2になっていました。絶対値はつかなくていいんですか?

Aベストアンサー

←No.2 補足
ベクトルaとベクトルa(同じもの)が
平行でない場合がありえると
考えているのだとしたら、複素ベクトルどころか、
内積も未だ早過ぎます。
「ベクトル」とは何か、の所まで戻って、
最初の最初から、復習が必要でしょう。

ベクトルa・ベクトルa が |ベクトルa|の2乗
になる理由は、
cos(ベクトルaとベクトルaの成す角) = cos(0)
だからですよ。

Q0ベクトルでないベクトルaベクトル=(a1,a2)に垂直な単位ベクトルeベクトルを求めよ。 という問

0ベクトルでないベクトルaベクトル=(a1,a2)に垂直な単位ベクトルeベクトルを求めよ。
という問題についてで、赤い線を引いてるところが分からないのでだれか教えてください!

Aベストアンサー

単位ベクトルを
 →e = (x, y)
としたら、「単位」ベクトルなので、「長さ」が1です。
よって
 |→e|² = x² + y² = 1

任意のゼロベクトルでない
 →a = (a1, a2)
においては
 |→a|² = (a1)² + (a2)² ≠ 0
なのだから、
 a2 = 0 の場合には a1 ≠ 0
が成り立つ。あたり前でしょう?

[1][2]は、単に
[1]→a2 = 0 の場合
[2]→a2 ≠ 0 の場合
に分けているだけなので、「a2 ≠ 0 のとき」が分からないといわれても困りますね。
 
 x² = (a2)² / [ (a1)² + (a2)² ]
なのだから、これは
 x = ±(a2) / √[ (a1)² + (a2)² ]
でしょう?

 欄外にメモしてあるような、分母が
  A² = B² + C²

  A = ±( B + C )
になるなんて、あり得ないでしょう。

Q数B ベクトルの球面方程式です

球面方程式の一般形

X(2)乗 + Y(2)乗 + Z(2)乗 + ky + ly + mz + n =0

のk l m はなにをあてはめるのでしょうか。
教えてください。

Aベストアンサー

#1です。

A#1の補足の質問
>4点(0,0,0、)(6,0,0、)(0,8,0)(-2,1、-1)を通る球面の方程式を求めよ。またその球面の中心の座標と半径をもとめよ。

球の中心(a,b,c),半径R(>0)の
球面の方程式は以下の通り。
 (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2
4点がこの球面上にあるとすれば、それらの座標を代入しても方程式が成り立つから
 a^2+b^2+c^2=R^2   …(1)
 (6-a)^2+b^2+c^2=R^2 …(2)
 a^2+(8-b)^2+c^2=R^2 …(3)
 (-2-a)^2+(1-b)^2+(-1-c)^2=R^2…(4)
これらの4つの式をa,b,c,R(>0)の連立方程式とみなして解けば
球の中心(a,b,c)と半径R
が求まります。
(2)-(1)から
 (6-a)^2-a^2=6(6-2a)=12(3-a)=0 ∴a=3
(3)-(1)から
 (8-b)^2-b^2=8(8-2b)=16(4-b)=0 ∴b=4
a=3,b=4を(1),(4)に代入
 25+c^2=R^2  …(5)
 34+(c+1)^2=R^2…(6)
(6)-(5)から
 (c+1)^2-c^2+9=2c+10=2(c+5)=0 ∴c=-5
a=3,b=4,c=-5を(1)に代入して
 R^2=9+16+25=50
R>0より R=5√2
球面の方程式は
(x-3)^2+(y-4)^2+(z+5)^2=50

#1です。

A#1の補足の質問
>4点(0,0,0、)(6,0,0、)(0,8,0)(-2,1、-1)を通る球面の方程式を求めよ。またその球面の中心の座標と半径をもとめよ。

球の中心(a,b,c),半径R(>0)の
球面の方程式は以下の通り。
 (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2
4点がこの球面上にあるとすれば、それらの座標を代入しても方程式が成り立つから
 a^2+b^2+c^2=R^2   …(1)
 (6-a)^2+b^2+c^2=R^2 …(2)
 a^2+(8-b)^2+c^2=R^2 …(3)
 (-2-a)^2+(1-b)^2+(-1-c)^2=R^2…(4)
これらの4つの式をa,b,c,R(>0)...続きを読む

Q空間のベクトル 球面の問題です

中心が(3.2.-1)で直線x=y/2 = z/-2 から長さ2の線分を切り取る球の方程式を求めよ

この問題の解答の意味がわかりませんでした。

<解答>
x=y/2 = z/-2 = Kとおいて、直線上の任意の点は
(k、2k、-2k)と表せる。
中心から直線へ垂線を下す。(直線は方向ベクトルと内積で)
球の中心C(3,2、-1)から、この直線へ引いた垂線の足を
H(x、y、z)とすると、x=k、y=2k、z=-2kで
CH→は直線の方向ベクトル(1,2、-2)に垂直である。
∴(k-3)・1+(2k-2)・2+(-2k+1)(-2)=0

∴9k-9=0   ∴k=1
よってH(1,2,-2)であり、球の半径rは
r^2=(2^2+1^2)+1=6

∴(x-3)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=6

質問:最後のr^2=(2^2+1^2)+1=6だけわかりませんでした。後はわかったのですけど、rは半径で、こんかいCH^2=r^2としたのでは?と考えたのですけど。。そうしたらCの座標は
C(3.2.-1)、Hは(1,2、-2) なので
CH=√3-1+2-2+-1+2 = √3 で二乗してCH^2=3だとおもぅたのですが、6でした。
この解答の式も自分の計算とはちがって
なぜか、r^2=(2^2+1)+1=6と
(2^2+1)と+1という二つの項があり、分けているので、別の考え方からの計算問題と考えられるのですけど、、どうやってこの式になったのかわかりませんでした。
どなたか教えてください。

宜しくお願いします>_<

中心が(3.2.-1)で直線x=y/2 = z/-2 から長さ2の線分を切り取る球の方程式を求めよ

この問題の解答の意味がわかりませんでした。

<解答>
x=y/2 = z/-2 = Kとおいて、直線上の任意の点は
(k、2k、-2k)と表せる。
中心から直線へ垂線を下す。(直線は方向ベクトルと内積で)
球の中心C(3,2、-1)から、この直線へ引いた垂線の足を
H(x、y、z)とすると、x=k、y=2k、z=-2kで
CH→は直線の方向ベクトル(1,2、-2)に垂直である。
∴(k-3)・1+...続きを読む

Aベストアンサー

元大学受験予備校理系主任講師の経営システムコンサルタントです。(一応、数学担当です(笑))

球を定義するには中心と半径が決まれば良い、と言うのは判りますか?
問題文に中心座標が指定してありますので、半径さえ判れば良いことになります。【ちなみに中心A(a,b,c)、半径rの球の方程式が (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2 であることは論を待たないこと、ということが理解できていることを前提とします。】

ということは、その球から「直線x=y/2=z/-2 から長さ2の線分を切り取る」という条件は、半径を定めるために使う訳です。

ここで球と直線が交わる状況を考えてみて下さい。ボールに針金を通すイメージです。
球の中心を通らないとすれば、針金の通過する2点と、球の中心で三角形が出来ることが判るでしょうか?
この三角形は半径rを両辺とする二等辺三角形になります。よって中心から底辺に下ろされた垂線は、底辺を垂直に二等分することも理解できると思います。(その直線と、球の中心を通る切断面を考えてみて下さい。判らなければ粘土で球を作り、針か糸で直線を模擬的に作ってみれば判ります。)
ということは、「底辺の長さ=切り取られる長さ=2」という条件から、直線と球の交点を求めれば、『上記の二等辺三角形の両辺の長さ=球の中心と交点の距離=半径』となり、球の方程式が求まる、と言うわけです。

今回の場合、問題文から
球の方程式:(x-3)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=r^2
直線方程式:x=y/2=z/-2
となっているので、「交点の座標を求める=両方程式に共通のx,y,zを求める」ということですから、直線の方程式x=y/2=z/-2を利用して、x,y,zを1つの文字(=パラメーター)で置き換えると問題が解きやすい、即ち単純化されるのでx=y/2=z/-2=kと置く、という一文が出てくる訳です。
必ずこうやって解かないといけないわけではありません。ハッキリ言えば、今回の場合、単純な方程式ですからy=2x、z=-2xと解き直して、これを球の方程式に代入してxの2次方程式を解いても良かったのです。ただ、パラメーターに置き換えることで様々な場合で単純化(=変数文字種の統一)が出来るメリットを理解して頂ければ、今後にも役立つでしょう。
x=k,y=2k,z=-2kですので、これを球の方程式に代入するとkに関する2次方程式が出来上がります。これを解けばkの値が2つ出てくることも理解できるでしょう。
ということは球と直線の交点の座標は2つ定まることになります。これで上記で言っていた二等辺三角形になる、ということもご理解頂けるでしょう。ちなみにkが重解で1つしか出なかった場合は、交点が2つだけの時、ということですので、直線が球の表面上でピッタリ接している時ということになります。

ただ、上記のやり方はカッコよくないというか、数学の回答としては“ベタ過ぎる”ので、少しカッコ良くやろうとすると、ベクトルの内積の性質から“垂直なベクトル同士の内積=0”ということと、直線の方程式から方向ベクトルがスグに判るので、それを利用したらkがスグに理解できる、ということですね。
お判りにならなかった部分については、幾何的性質でお考えになればすぐに判りますが、要は半径rと垂線CH、底辺の半分で直角三角形が出来るので、三平方の定理から『r^2=CH^2+(底辺の半分)^2 』という式が導かれています。

ご面倒でも苦手でも、空間図形を平面で切り取った図を描く練習をされ、習慣化されることをオススメします。そうすると空間図形の問題も大した問題ではないことが判ります。頑張って下さいね。nana070707さんの受験勉強か、自主勉強かは私には判りませんが、陰ながら応援しております。

元大学受験予備校理系主任講師の経営システムコンサルタントです。(一応、数学担当です(笑))

球を定義するには中心と半径が決まれば良い、と言うのは判りますか?
問題文に中心座標が指定してありますので、半径さえ判れば良いことになります。【ちなみに中心A(a,b,c)、半径rの球の方程式が (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2 であることは論を待たないこと、ということが理解できていることを前提とします。】

ということは、その球から「直線x=y/2=z/-2 から長さ2...続きを読む


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