痔になりやすい生活習慣とは?

平面内の力の場合、保存力であるための条件を求めたい。4点の座標を持つ、微小な長方形を考え、各頂点は左下から半時計周りにA(x,y),
B(x+Δx,y),C(x,y+Δy),D(x+Δx,y+Δy)。(つまり、AB=DC=Δx,DA=CB=Δyの微笑長方形)
経路A→B→Cに沿った仕事をW(1),経路A→D→Cに沿った仕事をW(2)と呼ぶこととする。
学術図書出版社の『力学』(植松恒夫)をお持ちの方は、62ページを見てください。上のAがPのことで、CがP'のことです。

W(1)=Fx(x,y)Δx+Fy(x+Δx,y)  ←(1)
   =FxΔx+FyΔy+(Fyをxで偏微分)ΔxΔy ←(2)
W(2)=Fy(x,y)Δy+Fx(x,y+Δy)Δx ←(3)
   =FxΔx+FyΔy+(Fxをyで偏微分)ΔxΔy ←(4)
ここでFx(x,y)は、(x,y)におけるx方向の力を表している(Fxはx方向の力)のだとおもいます・・・。教科書に明記はないです。違ったらスイマセン
高次の微少量は無視した・・・らしいです。
W(1)-W(2)={(Fyをxで偏微分)-(Fxをyで偏微分)}ΔxΔy であり
この力が保存力であれば、W(1)=W(2)となることから、
(Fyをxで偏微分)=(Fxをyで偏微分) が導かれる。
逆に(Fyをxで偏微分)=(Fxをyで偏微分)が保存力になる条件である。
という流れなんですが、上の(1)(2)(3)(4)で
(1)と(3)は解っているつもりなんですが、(1)をどう計算すれば(2)になるのか、(3)をどう計算すれば(4)になるのかがサッパリわかりません。

先生がここ飛ばしちゃったから、自分で理解しなくちゃいけなくなったのですが、もう何も浮かばなくて・・・(汗)
皆さんの頭脳に期待しています。助けてください。

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A 回答 (1件)

(1) の


第二項は Fy(x+Δx,y)Δy
ですよね単位は仕事量なので。

xについての一次までのテイラー展開で

Fy(x+Δx) = Fy(x)+d(Fy(x))/dx *Δx

となるので、(1)に代入すれば良いと思います。

テイラー展開はいつでも使えるようにしておいた方が良いと思います。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

修正方法がわからなくて・・・、ご指摘通りです。
テイラー来ましたねー、けっこう頻繁に登場するんですね(汗)
ホント助かりましたm(__)m ガチで感謝しています。

お礼日時:2007/07/22 22:53

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Q保存力かどうかの判定と位置エネルギーの求め方

F~=-kxh-kyi-kzj についてこの力が保存力と非保存力のどちらかであるかを、理由をつけて述べなさい。
また保存力であれば位置エネルギーをもとめなさい。ただし~はベクトル、h,i,jはそれぞれx、y、z方向の単位ベクトルとする。
という問題なのですが保存力かどうかの判定は∇×F~=0となれば保存力であることがわかったのですがそこの計算の仕方がいまいちわかりません。また位置エネルギーの求め方もわかりません。教えてください。

Aベストアンサー

位置エネルギーの定義から

r=(x, y, z), r0=(x0, y0, z0)、E=-∫F・dr(経路は原点からr0まで)

が、原点を基準にした r0 での位置エネルギー。

積分すれば E = (1/2)k|r0|^2

Qポテンシャルエネルギーから力を求めるのになぜ偏微分

こんにちは、力学を勉強しております。重力やばねの力が保存力である、ということを学ぶ際に、ポテンシャルエネルギーUを習いました。そして、このポテンシャルエネルギーを位置で微分して力を求める、という次の式が登場しました (~はベクトル表示のための矢印とお考え下さい)。

~F = -(∂U / ∂x) ~i - (∂U / ∂y) ~j - (∂U / ∂z) ~k .... (1)

ここで、なぜ偏微分なのでしょうか。

~F = -(dU / dx) ~i - (dU / dy) ~j - (dU / dz) ~k .... (2)

というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

たとえばバネの ポテンシャルエネルギーはU = (1/2)k x^2なので
これを上式(1)のように微分すれば、F = -kxとなります。重力にしても同様に求まります。
ただ、(2)式を使っても、ばねの力も重力も求まってしまいます。

偏微分を使っているからには、その理由があると思うのですが、私の持っているどの教科書にもその説明がなく、突如として偏微分が示されているだけでして悩んでおります。

どうぞ宜しくお願いします。

こんにちは、力学を勉強しております。重力やばねの力が保存力である、ということを学ぶ際に、ポテンシャルエネルギーUを習いました。そして、このポテンシャルエネルギーを位置で微分して力を求める、という次の式が登場しました (~はベクトル表示のための矢印とお考え下さい)。

~F = -(∂U / ∂x) ~i - (∂U / ∂y) ~j - (∂U / ∂z) ~k .... (1)

ここで、なぜ偏微分なのでしょうか。

~F = -(dU / dx) ~i - (dU / dy) ~j - (dU / dz) ~k .... (2)

というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

たと...続きを読む

Aベストアンサー

まず、微小変位について仕事がどう書かれるかはわかっていますか?
仕事は一次元運動では力×移動距離ですが、三次元運動では力のベクトルと変位ベクトルの内積になります

ΔW = F・Δr (F, Δrはベクトル)

次に、位置エネルギーの定義ですが、位置エネルギーは仕事の符号を変えたものですから、
この微小変位による位置エネルギーの変化分は

ΔU = - ΔW = - F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz ) (*)

ここまでよろしいでしょうか?

次は純粋に数学の問題で、U(x+Δx,y+Δy,z+Δz)をテーラー展開して1次までとると

U(x+Δx,y+Δy,z+Δz) = U(x,y,z) + (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz

ここで

ΔU = U(x+Δx,y+Δy,z+Δz) - U(x,y,z)

と定義すれば

ΔU = (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz

が成り立ちます。つまり、1次までの微小変化であれば、

y,zを止めてxだけ変えたときの変化分、
x,zを止めてyだけ変えたときの変化分、
x,yを止めてzだけ変えたときの変化分、

の合計が全体の変化分に等しいという関係が成り立ちます。
これが全微分ではなく編微分を使う理由です。


この式は

grad U = (∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z )
Δr = (Δx, Δy, Δz)

というベクトルを導入すれば内積を使って

ΔU = grad U ・ Δr

と書くことができます。

この関数U(x,y,z)を位置エネルギーだとすると、ΔUは微小変位Δr = (Δx, Δy, Δz)に対する位置エネルギーの変化分となりますから、上の(*)の式に等しく

ΔU = grad U ・ Δr=ΔU = (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz
   =- F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz )

この二つの式を見比べれば

F = - grad U

成分表記では

Fx = -∂U/∂x
Fy = -∂U/∂y
Fz = -∂U/∂z

となります。

>というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

3次元の調和振動子を考えて見ます。その位置エネルギーは

U(x,y,z) = (1/2)k (x^2 + y^2 + z^2)

これを通常の微分をとるとすると、物体は3次元空間の中をある軌道で運動していますから、xの変化と同時にyもzも変化します。つまり、yとzはxの関数と考えられるので

dU/dx = d/dx [ (1/2)k (x^2 + y(x)^2 + z(x) ^2) ]
= k x + k y(x) dy/dx + k z(x) dz/dx

となり、x方向の力kxを導きません。

まず、微小変位について仕事がどう書かれるかはわかっていますか?
仕事は一次元運動では力×移動距離ですが、三次元運動では力のベクトルと変位ベクトルの内積になります

ΔW = F・Δr (F, Δrはベクトル)

次に、位置エネルギーの定義ですが、位置エネルギーは仕事の符号を変えたものですから、
この微小変位による位置エネルギーの変化分は

ΔU = - ΔW = - F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz ) (*)

ここまでよろしいでしょうか?

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Q保存力→ポテンシャル→力 の計算過程について

かなり初歩的なミスをしているような気がするのですが、どうも気になる問題があるのでご教授お願いいたします。

二次元上において、力Fが
 Fx = -ax(x^2+y^2)
 Fy = -ay(x^2+y^2)

で与えられているとき、二次元の保存力の条件から
 ∂Fx/∂y = -2axy
 ∂Fy/∂x = -2axy

となり、保存力で間違いないですよね?(ここで間違ってたら申し訳ないのですが・・・)

また、ポテンシャルについては、
U(0,0)=0 であるとすれば、 U(x,y)については線積分で

 U(x,y) = -∫(0→x) {-ax(x^2 + y^2) dx}
      -∫(0→y) {-ay(x^2 + y^2) dy}

で与えられ、これについてはおそらく計算間違いでない限り

 U(x,y) = 1/4 * (x^4 + y^4) + (x^2)*(y^2)

となると思います。しかしすると、力を求めるときの
 F = -∇U
に以上の式を代入しますと、

 Fx = -ax(x^2 + 2*y^2)
 Fy = -ay(2*x^2 + y^2)

となり、はじめに提示された力とは若干異なる数値がでてきてしまいます。

これについて疑問を抱いたのですが、あまりにも初歩的で手順が間違ってたとは思えず…おそらく何かを勘違いしているのだと思っています。
(恐らく線積分は始点終点の問題があるのでその辺りに原因か)

このようなことは起こり得ますか? それとも計算ミスなのでしょうか…
そもそもこのような検算方法は完全ではないのでしょうか
私の誤解にお気づきになられた方はお教えいただけると幸いです。

宜しくお願いいたします。

かなり初歩的なミスをしているような気がするのですが、どうも気になる問題があるのでご教授お願いいたします。

二次元上において、力Fが
 Fx = -ax(x^2+y^2)
 Fy = -ay(x^2+y^2)

で与えられているとき、二次元の保存力の条件から
 ∂Fx/∂y = -2axy
 ∂Fy/∂x = -2axy

となり、保存力で間違いないですよね?(ここで間違ってたら申し訳ないのですが・・・)

また、ポテンシャルについては、
U(0,0)=0 であるとすれば、 U(x,y)については線積分で

 U(x,y) = -∫(0→x) {-ax(x^2 + y^2) dx}...続きを読む

Aベストアンサー

> U(x,y) = -∫(0→x) {-ax(x^2 + y^2) dx}
>      -∫(0→y) {-ay(x^2 + y^2) dy}
この書き方を見る限り、間違っているのはおそらくこの部分ですね。

積分経路のとり方は色々ありますが、
(0,0)→(x,0)→(x,y)
という積分経路を考えるのであれば、

 U(x,y) = -∫[(0,0)→(x,0)] {-ax(x^2 + y^2) dx}
      -∫[(x,0)→(x,y)] {-ay(x^2 + y^2) dy}
     = -∫[(0,0)→(x,0)] {-ax^3 dx}
      -∫[(x,0)→(x,y)] {-ay(x^2 + y^2) dy}

のような感じになります。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q大学1年生向き 力学参考書は?

某旧帝大、工学部1回生のものです。

力学(古典力学)のお勧めの参考書を教えて下さい。

授業指定の教科書が『ファインマン物理学(1)力学』なのですが、理解の範疇を超えています。
そこで他に代わる参考書を探しているのですが、調べた中では、
・物理学序論としての力学(東京大学出版会)
・物理入門コース(1) 力学(岩波書店)
の評価が高く、購入を迷っているところです。

しかし、前者の方は近くの本屋で販売しているところがなく、読み比べられないので困っています。


そこでお聞きしたいのは、
1.力学(古典力学)のお勧めの参考書とその理由(上記の本以外でもかまいません)
2.上に挙げた2つの本の違い(大雑把で構いません)
の2点です。

どちらかだけでも構いませんので、ご存知でしたらご教授ください。
よろしくお願いいたします。

※因みに力学分野は得意というほどではありませんが、高校範囲において苦労しなかった、というレベルです。

Aベストアンサー

ファインマン物理学が指定教科書なんてうらやましい限り…

私は授業で
・物理入門コース(1) 力学(岩波書店)
を使って、
自分で
・物理学序論としての力学(東京大学出版会)
を読みました。

前者は淡々と物理の概要について述べてる感じです。
No.1さんのおっしゃる通り、無難です。
とりあえずこれをやっておけば初年度の力学なら大丈夫という感じ。
工学部生ならこれで十分だとは思います。(私も工学部ですがw
いかにも教科書って感じのヤツですよ。普通にわかりやすいです。
でも私にはあまり役に立ちませんでした(高校で結構物理は勉強していたので)。

後者はとても面白いスタイルの本でした。
まさに"物理学序論としての"という感じ。
数式の物理的意味とか、物理の概念なんかを知りたいのならこちらがいいと思います。
面白いです。

ただ、問題を"解ける"ようになるのは前者かなぁと思います。
問題集なんかを買ってちゃんといっぱい解いていった方がいいかと思います。

個人的には読み物ならやっぱりファインマン物理学を気合いれて読むといいと思うんですけどね・・・

私のように機械系に関係する感じだったら、剛体運動の場合には、機械力学や工業力学関係の本なんかで勉強するのもいいかなと思います。

ファインマン物理学が指定教科書なんてうらやましい限り…

私は授業で
・物理入門コース(1) 力学(岩波書店)
を使って、
自分で
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を読みました。

前者は淡々と物理の概要について述べてる感じです。
No.1さんのおっしゃる通り、無難です。
とりあえずこれをやっておけば初年度の力学なら大丈夫という感じ。
工学部生ならこれで十分だとは思います。(私も工学部ですがw
いかにも教科書って感じのヤツですよ。普通にわかりやすいです。
でも私にはあま...続きを読む

Q位置エネルギーの極小点近傍で運動する質量mの物体の運動方程式とはどういう意味ですか? 位置エネルギー

位置エネルギーの極小点近傍で運動する質量mの物体の運動方程式とはどういう意味ですか?
位置エネルギーはU(x)=ae^(-bx)/b+ax-a/bです。
前問で三項までのテイラー展開も求めています。

Aベストアンサー

-dU/dx = ma

ということです。後は 極小点近傍でのテイラー展開を
代入して微分方程式を解くだけ。

Qポテンシャル、エネルギーって何でしょうか?

大学で電気を勉強しています。ポテンシャル、エネルギーもよく授業などの議論に出てきます。例えば、ある現象を説明するとき単にポテンシャルが低く安定になるように電子が移動したなどといいますが、正直、ポテンシャル、エネルギーがイマイチつかめません。値を計算しろといわれれば計算できますが、何かわかっているようで漠然としています。ぜひ、熱く語っていただける方教えてください。できれば、高校生に分かるくらいの感じで。宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

辞書でpotentialって引いてみて下さい。
可能性を秘めた、潜在的な能力・・・
とあるはずです。


運動エネルギーに変わる可能性のある
エネルギーで、直接測定できないが
そこに潜在的(内面)に存在する
エネルギー一般のことで、
古典力学ではNo.1の方が言われて
いる位置エネルギーのことです。

自分のしている腕時計の位置エネルギーを
考えると、地上にいるときよりビルの上に
いるときのほうが、位置エネルギーは
大きいはずですが、そんな実感は普通ありません。
自由落下で運動エネルギーに変わってから
はじめてその大きさがわかるもので、
mghという公式は、測定からわかった
高さとエネルギーの関係を表しているだけで、
実測するためには、運動エネルギーに
変換してやらないといけません。

電界のポテンシャルエネルギーの場合、
その定義は点電荷の運動で表現
されてますよね。暗黙のうちに
運動エネルギーへの変換をしているわけです。


ポテンシャルエネルギーは、必ず
運動エネルギーとの和で書かれて
いて、本によっては記号Hで
ハミルトニアンと書かれていると
思います。
このHが一定というのが、高校の物理で
出てきたエネルギー保存の法則です。

エネルギー保存の法則があるから、
運動が起こっていなくても、そこには
見えないエネルギー、直接測定できない
エネルギーがあると確信がもてるので、
この見えないエネルギーをポテンシャル
エネルギーと言っているんです。


>ポテンシャルが低く安定になるように電子が移動したなどといいますが、

 運動エネルギーをK、ポテンシャルエネルギーをP
とすると、ラグラジアンLというのが
L=K-P
と定義されます。L>0になるように全ての
自然法則は働くと言われ、これをオプティマル
(最適化)の原理といいます。

複雑な式も

H=K+P
L=K-P

H ハミルトニアン
L ラグラジアン
K 運動エネルギー
P ポテンシャルエネルギー
(運動エネルギーではない、見えないエネルギー)
の原理で書かれていると分かって式を見ると
全体がよく見えると思います。

辞書でpotentialって引いてみて下さい。
可能性を秘めた、潜在的な能力・・・
とあるはずです。


運動エネルギーに変わる可能性のある
エネルギーで、直接測定できないが
そこに潜在的(内面)に存在する
エネルギー一般のことで、
古典力学ではNo.1の方が言われて
いる位置エネルギーのことです。

自分のしている腕時計の位置エネルギーを
考えると、地上にいるときよりビルの上に
いるときのほうが、位置エネルギーは
大きいはずですが、そんな実感は普通ありません。
自由落下で運動エネルギ...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q運動方程式の微分積分の計算

 運動方程式の微分積分の計算方法がわかりません。詳しく教えてもらえると嬉しいです。よろしく、お願いします。以下はテキストの抜粋です。

m・dv/dt = F(r)
両辺に速度 v=dr/dt をかけると
mv・dv/dt = F(r)・dr/dt
となる。ここで、
v・dv/dt = d/dt(1/2v^2)  ← この式変形が、分かりません。1/2も不明です。
と変形できるので、上の式は
d/dt [1/2 mv^2(t)] = F・dr(t)/dt

Aベストアンサー

積の微分の公式
(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
をつかっているだけです。

v^2=v・v
v'=dv/dt

です。

d/dt(v^2)=(v^2)'=(v・v)'=v'v+vv'=2vv'=2v・dv/dt

だから、

v・dv/dt=1/2・d/dt(v^2)=d/dt(1/2v^2)

でしよう。

Q∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

答えは

( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) )

となるようですが、過程がまったくわかりません。
部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。

見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2
= 1/(x^2+1) - (1/2) x・(2x)/(x^2+1)^2
と分解しよう。

∫{ x・(2x)/(x^2+1)^2 }dx は、
∫{ (2x)/(x^2+1)^2 }dx が容易であることを用いて、
部分積分する。

∫{ 1/(x^2+1) }dx は、arctan の定義式だから、
知らなければどうしようもない。
(x=tanθ と置くのは、結論の先取で好ましくない。)


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