自然数と偶数にそれぞれラべルをつけて対応させるんですよね。
 1  2  3  4  5  ・・・・・・ ∞
 |  | |  |  |       |
 2  4  6  8  10 ・・・・・・ ∞
こうなるから、(自然数の個数)=(偶数の個数)=∞ 。
ここで質問なのですが、5個目まで数えた段階で、10までの偶数は少なくとも認識されているといえますよね。この世界で。
自然数も同時に数えているのだから、少なくとも6、8、10は、まだ数えていないけれどもこれから数えなければならない
‘在る’数ですよね。・・・と思うんですけど。どうでしょうか。
∞を「認識の限界を超えた数」と思うのが間違っているのでしょうか。
私には∞と∞を対応させることのほうが不思議に思えるのですが・・・。
だって∞=∞じゃないし、∞-∞=0じゃないし・・・・・・。

A 回答 (8件)

 数学苦手な者同士助け合いましょうね。



 ご質問の趣旨は、「下の偶数の列に8や10がすでにあるから、上の自然数の列で、もう少し進んだところで、すでにカウントした数に出くわす、それが何かヘン」ということだと思います。
 結論から言うと、「上と下は別と考えましょう」ということです。
 「無限」を扱う思考ですが、根っこの発想は「素朴」と言っていいくらい単純なものです。要するに、「一個、二個、三個…」と数えられれば、「自然数と対応できている」ということで、「無限の《濃度》が自然数と同じ(アレフ・ゼロと言います)」になります。
 「数える」んです。それだけ。

 それで、ご質問の件に戻ります。上の列は「貼り付けるラベルの集合」と考えて下さい。そして、下の列は「貼り付けられる偶数の集合」です。「別の集合」ということになります。
ですから、たとえ下の列で6や8や10が先に出てきていたとしても、それは上の列の「ラベル」とは別物です。下の列の6や8には、3と4の「ラベル」が貼られており、上の列の6や8という「ラベル」は、下の列の12や14に貼り付けられます。こうして、一対一の対応が無限に続きます。そして結論は「自然数と偶数は、同じだけ無限にある」となるわけです。

 同様の論法で、奇数もアレフ・ゼロ、平方数もアレフ・ゼロと言えます。「有理数」はどうだと思われますか? …分数です。分数…0と1の間にも無限にありそう(分母を増やして刻んでいけば、そうですよね?)。ということは、自然数よりもずっとたくさんありそう…。
 ところが、これもアレフ・ゼロです。カントールが「対角線論法」という目の覚めるような見事なやり方で証明しています。…面白いですよ。(^^
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この回答へのお礼

数学・・・興味はあるんだけどなあ・・・・・・。苦手です。がんばります。
さて。あの、「すでにカウントしたから変だ」と思ったのではなくて、
「カウントできるはずなのにカウントしないで(∞にいっちゃって)、8や10を取りこぼしているのでは?」と思ったのです。
しかしこれは∞を数のように(対応させた上下で同時に)ぶち当たるものだと考えていたことによるものだと納得しました。
「対応していない」で、「同じくらい無限」なのだということで、よくわかりました。
みなさんありがとうございました。しかし皆さんはさらに先に行ってるようなので、私ももう少しがんばってみます。

お礼日時:2001/01/25 12:00

 わ、すみません。

下のHP、よく読んだら stomachmanさんの解説と同趣旨でした。やっぱり僕の勘違いでしたね。ごめんなさい。
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 stomachman師匠、お言葉ですが、前半で紹介されている論法こそが、まさに「対角線論法」では? 僕の勘違いかな…


 一応、検索してみたら、下記のHPが見つかりました。そこでは、「斜め数え」が「対角線論法」で、「自然数と有理数はアレフ・ゼロ」の証明となっているようです。

うーん、なんか、わからん…

参考URL:http://kobe.cool.ne.jp/shim/taikaku.html
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No.93959で「対角線論法」という言葉をだしたnikorinです。


stomachmanさんの言われたとおりで、対角線論法は実数が可算でない
ことを示すものでした。
誤解、混乱を招いてしまったことをお詫び致します。
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stomachmanです。

ちょっと補足。

 カントールの「対角線論法」について三人の回答者が触れていらっしゃいますが、ちょっと待って。「対角線論法」は実数の個数がアレフ0より多い事を証明するのに使うのであって、有理数が自然数と同じ個数あることを示すのには関係ないと思いますよ。

1/1, 1/2, 3/2, ... などの有理数を数えるには、横軸に分母、縦軸に分子の値を取った平面を考えます。平面上の点(x,y)が(5,3)であれば、その点は3/5を表している、と考える訳ですね。2/2や4/4など、同じ有理数が繰り返し出てきてしまいますが、別のものとして数えてしまいましょう。
 実際に絵を描いてやってみてくださいね。
 まず、点(1,1)を数えます。次に(2,1)、(1,2)を数えます。次に(3,1),(2,2),(1,3)を数えます。.... 次に(n,1)(n-1,2),....,(1,n)を数えます。....
 このように斜めに数えていけば、全ての点を順番に数え上げることができますね。でも2/2や4/4など、同じ有理数も別のものとして数えてました。この事から、
●(1) 有理数の個数≦自然数の個数
ということが分かります。一方有理数の列1/1, 1/2, 1/3, 1/4,....は明らかに自然数と1:1に対応します。この他にも有理数はあるのですから、
●(2) 有理数の個数≧自然数の個数
ですね。
 だから、(1)と(2)より
●(3) 有理数の個数=自然数の個数
という結論になります。有理数の個数は自然数の個数と、(ナント)同じなのです。(対角線論法の出番はないんですよ。)


 ついでですから、対角線論法の話もしましょう。
 0と1の間の実数を無限小数で書くことにします。たとえば0.5の代わりに0.49999....と書く。
 もし、0と1の間の実数の個数が自然数と同じアレフ0であるならば、それらの実数全部に番号を付けて並べた表が作れる筈です。たとえば
(1) 0.0123234...
(2) 0.0124821...
:
さて、ここで一つの実数aを次のようなやり方で作ります。a=0.xxxxxxx....ですが、
aの小数点以下1桁目は(1)の小数点以下1桁目とは違う数字にし、
aの小数点以下2桁目は(2)の小数点以下2桁目とは違う数字にし、
:
とやります。すると、aは先ほどの表には出てこない実数になります。だって表のn番目の数は、n桁目がaとは違っていますからね。
 全部並べた表の筈なのに、漏れが出てしまう。これは最初の仮定:「もし、0と1の間の実数の個数が自然数と同じアレフ0であるならば」が間違っていた、という事です。だから、0と1の間の実数の個数はアレフ0よりも多いことが分かります。

 これが対角線論法。どうしてそういう名前なのか、もうお分かりですね。

 なお「カントールの対角線論法が間違い」と決めつけるのはちょっとフェアではありません。数をどのようにして構成するか、つまり数そのものの定義の仕方に依る話であり、ひいてはその数学の基礎としてどんな公理系を採用したか、に依るからです。(ここまで来ると、よほどきちんと説明しないと混乱しちゃいますね。)
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「無限論の教室」(野矢茂樹)という本に、面白い解釈が出ていました。

カントールの対角線論法は間違いだ、しかし無限という概念は成立し得るというのです。
カントールが扱った無限は「実無限」と呼ばれ、この例で言えば自然数がどんなに先に進んでもそれに対応した偶数があらかじめ用意されている……という考え方ですね。
それに対して「可能無限」という考え方があって、これは無限に近い数字の対応を考えたときに、はじめてその数字が現れるというように考えます。たとえば、できるだけ大きな自然数nを考えたとき、それに対するn*2を考えることができる。こうして無限は「その場で」誕生していく、というような主張です。(考える時間が無限に必要ということにはなりません。いくらでも大きな数を「その場で」考えることができますから)。
現在の数学の主流になっている考え方ではありませんが、文系人間のわたしにとってはたいへん解りやすい本でした。哲学者の書いた数学の本というだけでも、ちょっと興味を惹かれませんか。
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「∞」というのは、ひたすら大きいということを表す「記号」であって


ある定まった数をさすものではないと思います。
従って、∞に∞を対応させるというのは正しくないと思います。
(感じはわかりますが)

どんな自然数 n をとってきても、1つの偶数 2n を対応させることができる
という意味で個数がいっしょ(というか同じだけ無限にある;「濃度」がいっしょ)
ということなんです。

同様の意味で自然数と有理数も同じ「濃度」です。調べてみると面白いと思います。
キーワードは「対角線論法」です。

認識云々についてはよくわかりませんが、私は、自然数も偶数も共にすべて
そろっていて、n と 2n を一つ一つ結んでいくというイメージを持っています。
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自然数の話ですね。


 ∞を数だと思ってはいけません。間違いです。従って∞と∞を対応させるのも間違いです。
 nと2nを対応付けている訳ですが、nも2nも数であって、∞じゃないですよ。

 これでいかが?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。あの、ではなぜ(自然数の個数)=(偶数の個数)と言えるのですか?

お礼日時:2001/01/24 19:15

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