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いまいちよくわかりません。忙しいと思いますが、教えてください。

密度ρの物質でできている、半径a厚さdの円盤と、半径b厚さdの二つの円盤を、重心を合わせてはり合わせ、半径aのほうの円盤の円周に沿って長さlの紐を巻きつけ一定の力Fでその紐を引っ張り、回転させることを考える。

という問題で、
慣性モーメント・・・I=(1/2)*π*ρ*d*{a^(4)+b^(4)}
角速度・・・・・・・ω=2F/[π*a*d*ρ*{a^(2)+b^(2)}]
運動エネルギー・・・k=I*ω^(2)/2=F^(2)*(a^(4)+b^(4))/[π*a^(2)*d*ρ*{a^(2)+b^(2)}^(2)]

という風に自分で考えたんですが、角加速度と回転のエネルギーがよくわかりません。どう考えればよいのでしょうか。あと、上の慣性モーメントなど間違って考えてるかもしれないので、もしそのときは、教えていただけると助かります。
よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

私も慣性モーメントを計算してみましたが、一致しました。



しかし、次からが問題。

角速度ωが定数になってしまっています。しかも、次元が変。
ωは定数ではなく時刻tの関数あって、単位はs^-1になるはずです。

ωを時刻tの関数とした式が既知であれば、
角加速度はωを微分したものが角加速度ですから、簡単に求められます。
しかし、この問題の場合は、角速度ωよりも先に角加速度dω/dtを
求めるほうが簡単です。

F・a = I・dω/dt
dω/dt = F/I = F*a /{(1/2)*π*ρ*d*{a^(4)+b^(4)}

角速度ωは、上記をtで積分すれば求まります。

最後に、
回転のエネルギーは、運動エネルギーです。
2つの円盤それぞれについて、r=0→a、r=0→b の区間で、
積分を行います。
半径方向の微小領域drにおける・・・
・円盤の質量は、2πrρd・dr
・速さは、v=rω
・よって、drの部分における運動エネルギーdEは、
 dE = 2πrρd・dr・v^2/2 = πρd・r^3・ω^2・dr

∫(0からa)πρd・r^3・ω^2・dr + ∫(0からb)πρd・r^3・ω^2・dr
が運動エネルギー(回転のエネルギー)
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この回答へのお礼

お礼メール、遅くなってすみませんです(_ _(--;(_ _(--;

何とか試験クリアできました。

ありがとうございました★

お礼日時:2007/08/08 08:03

1行間違えました。



dω/dt = F/I = F*a /{(1/2)*π*ρ*d*{a^(4)+b^(4)}
が間違い。
 ↓
dω/dt = Fa/I = F*a /{(1/2)*π*ρ*d*{a^(4)+b^(4)}
に訂正。
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Q加速度と角加速度の関係について

速度と角速度の関係は
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Aベストアンサー

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同時に、角速度の式「ω=v/r」の両辺を時間で微分すれば「dω/dt=(dv/dt)/r」となり、この式はすなわち「α=a/r」となります。
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Q角加速度とトルクと慣性モーメントの関係

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Aベストアンサー

単位だけに注目します。

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Qねじり剛性係数と断面二次モーメントの関係

ねじり剛性係数と断面二次モーメントの関係
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宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

まず、ねじりの剛性係数をGJとします。
GJの定義があいまいなので、明確にしておきましょう。

長さLの一様断面の棒を、トルクTで捩じった場合の回転角をθとします。
すると、
θ=TL/(GJ) ・・・(1)
と書けます。
ここで、
G:横弾性係数
J:捩り断面2次モーメント
です。
このとき、GJが、捩りの剛性係数になります。

このときのJは、断面形状が円または中空円の場合には、
J=Ip(断面2次極モーメント)=Ix+Iy ・・・(2)
で定義されます。

また、断面形状が上記以外の場合でも、棒の断面の両端面が変形後も平面となるように拘束されている場合(全周溶接などによって)には、Jはやはり式(2)で定義できます。
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棒を両手で握って捩ると、断面が円でない場合には、両端面が変形後は軸方向に波打った形状となって、平面とはなりません。(この現象が顕著に現れる例としては、紙を丸めて筒状にして捩った場合があげられます。)
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断面が長方形の棒を、両端を溶接せず、補助金具などを用いて、他の部材にねじ止めしているような場合には、このサン・ブナンの捩りが発生しやすくなります。
この場合の注意としては、
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この場合の取り扱い方については、一般の材料力学の本はごまかしているのが普通です。
あなたの場合、「予想以上に強かった」と書かれているので、サン・ブナンの捩りの状態ではなく、両端面がガッシリと他部材に溶接されているケースと推測しています。

まず、ねじりの剛性係数をGJとします。
GJの定義があいまいなので、明確にしておきましょう。

長さLの一様断面の棒を、トルクTで捩じった場合の回転角をθとします。
すると、
θ=TL/(GJ) ・・・(1)
と書けます。
ここで、
G:横弾性係数
J:捩り断面2次モーメント
です。
このとき、GJが、捩りの剛性係数になります。

このときのJは、断面形状が円または中空円の場合には、
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Qlogとln

logとln
logとlnの違いは何ですか??
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大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??
解説お願いします!!

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場合があります。

私の大学時代と仕事の経験から言いますと・・・

【eを用いるケース】
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・電子回路の信号遅延の計算(ln と書く人が多いです)
・放射能、および、放射性物質の減衰(log とも ln とも書きます。ただし、eではなく2を使うこともあります。)

【10を用いるケース】(log または log10 と書きます)
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・pH(水溶液の水素イオン指数・・・酸性・中性・アルカリ性)
・デシベル(回路のゲイン、音圧レベル、画面のちらつきなど)

ご参考になれば。

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場...続きを読む

QI dw/dt = - N

回転の運動方程式で

慣性モーメント*回転角の二回微分= - N

になるのはなぜですか?

なんで力のモーメントにマイナスが付くのかが分かりません。
運動方程式FとポテンシャルエネルギーUのようにしっかりとした理由があるのならば教えてください。
マイナスが付く理由がわかりません。

Aベストアンサー

以下ベクトルを「~」をつけて表します。

運動方程式
m dv~/dt = F~
がベクトル方程式であるのと同様,回転の運動方程式も本来は
I dω~/dt = N~
というベクトル方程式です。

ベクトル dω~/dt と N~ は同じ方向なのでマイナスはつきません。

ただ,ベクトルの方向成分を取り出してその大きさを
dω/dt および N
とするとき,dω/dt が定義されている向きと逆回転方向であるならば
dω/dt < 0
したがって,
dω/dt = -N
と表記されることもあり得るわけですね。

しかし,通常は同軸まわりの回転と力のモーメントを考えるとき
「上から見て反時計回りを正にとる」
というのが標準的な向きの定義です。
このような標準的な基準に従えば,角加速度と力のモーメントは同じ向きですから,方向成分を取り出した運動方程式にマイナスがつくことはありません。
dω/dt < 0 ならば,N < 0 と約束すればいいだけのことです。

ご紹介の方程式は,上のような標準的な基準を守っていない記述といえます。
たとえば,ωの正方向に回転をしている物体にブレーキがかかったような場合,力のモーメントの大きさをNと置いたようなときに,
I dω/dt = -N
といった表現が現れるわけです。

以下ベクトルを「~」をつけて表します。

運動方程式
m dv~/dt = F~
がベクトル方程式であるのと同様,回転の運動方程式も本来は
I dω~/dt = N~
というベクトル方程式です。

ベクトル dω~/dt と N~ は同じ方向なのでマイナスはつきません。

ただ,ベクトルの方向成分を取り出してその大きさを
dω/dt および N
とするとき,dω/dt が定義されている向きと逆回転方向であるならば
dω/dt < 0
したがって,
dω/dt = -N
と表記されることもあり得るわけですね。

しかし,通常は同軸まわりの回転と力のモーメントを...続きを読む


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