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正三角形ABCの二辺AB、BC上に点P、QをAP:PB=1:1、BQ:QC=2:1となるようにとる。点Aから直線PQに垂線AHを引く。このとき、ベクトルAHをベクトルAB、ベクトルACを用いて表せ。


この問題でもう3時間ちかく悩んでいるのですが・・・まったく解ける気配がゼロなので質問させていただきます。
ベクトルAB=ベクトルx、ベクトルAC=ベクトルyとしてこれを用いてベクトルAQ、QPを表すことはできました。
・・・がこれ以上どうやっても先に勧めません。
どなたかヒントをください!
よろしくおねがいします。

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A 回答 (5件)

|b|=|c|=1,,,,b・c=(1/2)


p=(1/2)b,,,,q=(1/3)(b+2c)
p-q=[(1/2)b-(1/3)(b+2c)]

* h・(p-q)=0
* h=(1/3)(b+2c)+t[(1/2)b-(1/3)(b+2c)]

6(p-q)=[3b-2(b+2c)]
6(p-q)=[b-4c]

6h=2(b+2c)+t[3b-2(b+2c)]
6h=2(b+2c)+t[b-4c]
6h=2b+4c+tb-4tc
6h=[(2+t)b+(4-4t)c]

36h・(p-q)=0
[(2+t)b+(4-4t)c]・[b-4c]=0
(2+t)+(2-2t)-2(2+t)-4(4-4t)=0
-2-t+2-2t-16+16t=0
13t-16=0
t=(16/13)

h=[(2+t)b+(4-4t)c]/6

(2+t)=(42/13),,,,(4-4t)=(-12/13)
(2+t)/6=(7/13),,,,,(4-4t)/6=(-2/13)

h=(7/13)b+(-2/13)c
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ベクトルAHはベクトルAQ+ベクトルQHですが、


ベクトルQHはベクトルQPのk倍とできます。
なので、(ベクトルAH)=(ベクトルAQ)+k*(ベクトルQP)
また、ベクトルAHとベクトルQHの内積は0です。
これらのことから、
{(ベクトルAQ)+k*(ベクトルQP)} と k*(ベクトルQP)
の内積は0
AQ,QPをAB,ACで表して、さらに正三角形の1辺を1
とすれば、cos60°なども使って、内積の計算からkが求められる
のではないでしょうか?
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なぜ、AP,AQのベクトルをb,c(便宜上Aからのベクトルをそれぞれこうします)で表そうとしたのでしょうか?ただ何となく?でしょうか?何となく、ということはそれなりの経験的な”直観”があるかとは思うのですが、それはおそらく今までの練習問題でそういうのがあったからでしょう。

その一問一問で、ただ答えを見ただけでは納得して終わってしまいますが、なぜそれをやろうという考えに至ったか、、、それを問題の解答を見るときに意識しながら模範解答を勉強に役立てる癖をつけておきましょう。ただ、やみくもにベクトルで表してみるのではなくて、どんな方向性にもっていきたいのか?を出来るだけ意識的に考えましょう。もちろん、難しい場合はとりあえずやってみる場合もあるでしょうがね。

やや前置が長すぎたので、つまづいているところを書きます。まず、ベンクトルの文章題は空間であっても、できる限りわかりやすい図を書いて状況を把握するように心がけましょう。できるだけ直角は直角になるように書くことも重要です。上で、求める上でのキーワードを考えましょう。ここでは、”AH⊥QP”がポイントになるはずです。二つのベクトルが直角なら内積=0が使えますよね。これを用いることを考えるのです。そうすれば、QP,AHをb,cのベクトルで表せばよいような気がします。AHについては、線分PQ上の点Hであることをうまく利用して、一変数で表せるといいでしょう。

こうして内積を求めようとすると、おそらくb・cが必要になることがわかります。ここで、はじめて”正三角形”という条件が必要だということもわかるはずです。

ごく基本的なタイプの問題ですので、しっかり理解した上で自分のモノにしておきましょう。

この回答への補足

すいません説明が理解できないです・・・
>QP,AHをb,cのベクトルで表せばよいような気がします
ベクトルQPは求めることがきましたが・・・
ベクトルAHを一変数で表すとのことですが・・・つまりどういうことなんでしょうか。
答えを導く手順としては、内積AH・QP=0からもっていこうとしているのでしょうか?
もうしわけありませんができればもう少し具体的に説明をいただきたいです

補足日時:2007/07/24 18:53
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直線PQ上の任意の点の表し方は分かりますか。

この回答への補足

tp+(1-t)q でしょうか?

補足日時:2007/07/24 18:53
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垂直なベクトルの定義を考えてみましょう。



ベクトルがわからなくなったら、
正確な図を描いて、方程式で考えてみるのも手です。あるいはグラフのマス目を数える。高校入試程度の直交ベクトルならこれで解決です。
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