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[x_0,x_n]内で少なくともn階微分可能な関数f(x)と、n次の多項式P_n(x)が、点x_i(i=0,1,・・・,n)で交わっているとき、多項式P_n(x)のn次の項の係数をC_nとすると
 f^n (k) = n! C_n ただし x_0 < k < x_n
を満たす定数kが存在することを示せ。

という問題を解いています。ロルの定理を使うのかなぁと思い次のような方針で解を得ました。(得た気になってました)


関数g(x)を

 g(x) = f(x) - P_n(x)

と置く。これをxでn階微分すれば

 g^n (x) = f^n (x) - n! C_n

となる。 f^n (k) が[x_0,x_n]内で微分可能ならg^n (x)も同様。またx_iでfとPは交わっていることから

 f(x_i) = P(x_i)

つまり

 g(x_i) = f(x_i) - P(x_i) = 0

つまり

 g(x_0) = g(x_1) = … = g(x_i) = 0

これより[x_0,x_n]内でg(x)にロルの定理を適用すれば

 g'(k) = f'(k) - P_n'(k) = 0 ・・・(I)

を満たすkが存在する。これをn-1階微分すると

 g^n (k) = f^n (k) - n! C_n = 0 ・・・(II)

したがって

 f^n (k) = n! C_n

とやったんですが、「点x_i(i=0,1,・・・,n)で交わっているとき」を全く使ってないですし、(I)→(II)の変形が間違っている気がします(kの関数をxで微分している・・・)。


なにかヒントや方針などお教え頂けないでしょうか。
よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

途中まで惜しいとこまで言ってますが,chopsのおっしゃるとおり,


(I)→(II)の変形が間違っています.

解答を書いてもよいですが,熱心に考えていらっしゃるので,とりあえずヒントと方針を書いてみますね.それでもわからなければ,後でもう少し詳細を書きたいと思います.

関数gを置いて,ロルの定理を使うのは良い方針だと思います.
ただ,ロルの定理を一度だけでなく,何回も使うことで,n回微分の関係式を得ればよいでしょう.

(1) g(x_0) = g(x_1) = … = g(x_n) = 0を利用すると,
[x_0,x_1]間,[x_1,x_2]間,…,[x_{n-1},x_n]間でそれぞれロルの定理が使えますね.すなわち,ある定数k1∈[x_0,x_1],k2[x_1,x_2],…k_n∈[x_{n-1},x_n]が存在して,それぞれの区間で
g'(k_i) = 0 (i=1,…,n)がいえます.
続いて,
(2) g'(k_1) = g'(k_2)= … =g'(k_n) = 0を利用すると,
また同様に,[k_1,k_2]間,[k_2,k_3]間…でロルの定理が使えますね.

同様に繰り返して,微分をn階までもっていけそうですね?
やってみてください.
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

何も端から端まで適用しなくて良かったんですね。1階、2階微分と類推することで無事(II)までたどり着きました。
どう役に立てていいのかは分からないのですが、関数と多項式の間にはなかなか面白い関係があるんですね。
ありがとうございました。

お礼日時:2007/07/25 00:17

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