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留数定理を使って∫(cos(x))^(2n)dx 積分範囲は0から2π、nは正の整数を解けという問題です。cos(x)=(1/2)(z+1/Z)と置いてやろうと思いましたが、お手上げです。どなたか詳しい方教えてください。宜しくお願いします。

A 回答 (3件)

そんな感じでいいですよ。


z=e^(ix)
と置けば、xは0から2πまで動くので、zは原点を中心とする単位円上を反時計回りに一周します。そのときの被積分関数は、dx=dz/izを忘れずに計算すれば
(1/2)^(2n) * (z+1/z)^(2n) * 1/iz
になっています。
この関数の積分路内の極はz=0だけです。
よってz=0での留数を求めるわけですが、留数は1/zの係数になっていますので上の被積分関数から実際に計算してみましょう。

この回答への補足

すばやい回答ありがとうございます。式を整理したら、((1/2)^(2n)(1/i))/(2n+1)∫((z+1)/z)^(2n)dzとなったのですが、ここからどういうふうに留数z=0を探せばいいんですか?

補足日時:2007/07/25 15:23
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申し訳ないですが、式の変形を少し書いていただけませんか?


まず、
((z+1)/z)^(2n)
が意味不明です。
(z + 1/z)^(2n)
の間違いでしょうか?
敢えてそのように変形したのなら、その理由を教えていただきたいです。
また、私の計算では被積分関数は
(1/2)^(2n) * (z+1/z)^(2n) * 1/iz (積分路は単位円周上)
です。
あなたのものと比較しますと、
/(2n+1)が出てきません。
また私の式は1/zがかかっています。これは
dx=dz/iz
から出てきたものです。
お手数ですが、よろしくお願いします・
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この回答へのお礼

すいません、私の間違いでした。どうやら、分母の微分を間違ってしてたみたいです(涙)おかげさまで留数を見つけることが出来ました。どうもありがとうございました。またよろしくお願いします。

お礼日時:2007/07/26 05:34

質問に質問で返すようで恐縮ですが、


((1/2)^(2n)(1/i))/(2n+1)∫((z+1)/z)^(2n)dz
はどうやって出てきたのでしょうか?
(2n+1)が不必要で、被積分関数に(1/z)が必要だと思いますが、

この回答への補足

ただ、zに関係ない物をインテグラルの外に出したものです、そして、((z+1)/z)^(2n)の展開式において、1/zの係数は2nとし、留数定理を使い全体の積分を2πi*2n*インテグラルの外のものとしました。まちがってますでしょうか?

補足日時:2007/07/25 21:18
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Q留数定理を応用した定積分

m, n を偶数とするとき, ∫[0→2π] sin^m(θ) dθ, ∫[0→2π] cos^n(θ) dθ, を計算する問題が解けません。
三角関数の積分で区間が, [0→2π] の例題が参考書に1問だけあって、その問題は解けたのですがこの問題に応用できません。
できれば途中の考え方と答を教えてください、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

  z=e^(iθ)
とおくと
  cosθ=(z+1/z)/2, sinθ=(z-1/z)/(2i), dz/dθ=iz
なので、勝手な関数f(cosθ,sinθ)について
  ∫[θ=0~2π]f(cosθ,sinθ)dθ = (1/i)∫[C]f((z+1/z)/2,(z-1/z)/(2i))/z dz (積分路Cは単位円を反時計回り。)

 ご質問では、f(x,y)=x^mの場合とf(x,y)=y^nの場合とをお求めである。たとえば、(cos(θ))^m (mは自然数)の積分ならf(x,y)=x^mだから、
  f((z+1/z)/2,(z-1/z)/(2i))/z = (((z+1/z)/2)^m)/z
のz=0での留数を計算しろってことですね。こりゃもう、まじめにLaurent展開をやって-1次の係数を出すだけです。
  (((z+1/z)/2)^m)/z = ((2^(-m))/z)((z+z^(-1))^m)
第2因子を二項展開して、
  = ((2^(-m))/z)Σ{k=0~m} (mCk)(z^k)(z^(k-m))
  = (2^(-m))Σ{k=0~m} (mCk)(z^(2k-m-1))
だから、2k-m-1=-1となるのは
  mが奇数なら、そんなkはないわけで、つまりz^(-1)の係数は0。
  mが偶数なら、k=m/2のとき。つまりz^(-1)の係数は
  (2^(-m))(mC(m/2))
  =(2^(-m)) m!/((m/2)!^2)
これが(m-1)!!/m!!と一致することを確認して下さいな。

  z=e^(iθ)
とおくと
  cosθ=(z+1/z)/2, sinθ=(z-1/z)/(2i), dz/dθ=iz
なので、勝手な関数f(cosθ,sinθ)について
  ∫[θ=0~2π]f(cosθ,sinθ)dθ = (1/i)∫[C]f((z+1/z)/2,(z-1/z)/(2i))/z dz (積分路Cは単位円を反時計回り。)

 ご質問では、f(x,y)=x^mの場合とf(x,y)=y^nの場合とをお求めである。たとえば、(cos(θ))^m (mは自然数)の積分ならf(x,y)=x^mだから、
  f((z+1/z)/2,(z-1/z)/(2i))/z = (((z+1/z)/2)^m)/z
のz=0での留数を計算しろってことですね。こりゃもう、まじめにLaurent展開をやって-1次...続きを読む

Q複素解析 留数って何ですか?

こんばんは、大学2年生です。現在、複素解析を授業でやっているのですが留数って何ですか?授業中に

f(z)=e二乗/(z-1)(z-2) (z=2)について証明しろと問題が
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アドバイスお願いします。

Aベストアンサー

留数とは
Res[f,a]=1/2πi*∫f(z)dz  …(1)

の積分によって求められる値が留数だ!ってまず覚えてください。
この式は領域D内にある、特異点を含む単一曲線を示していると考えてください。

(z=2)は特異点ですよね?
ローラン展開しないとf(z)は分母が0になっちゃいますよね?
それが特異点なのです。だからz=1も特異点です。
ここでまた大事なのが特異点の極といわれるものです。この式の場合はどっちも(z-1)^1(z-2)^1なのでどっちも1位の極です。
    (z-1)^2(z-2)^1ではz=1では2位、z=2では1位の極となります。極は一般にはk位の極などといいます。
f(z)の特異点における留数を求めたい場合は、f(z)と求めたい特異点の極を求める必要があります。


Res[f,a]=1/2πi*∫f(z)dz  
    =1/(k-1)!*lim(z→a) d^(k-1)/dz^(k-1)[(z-a)^k*f(z)]
に極、f式を代入して簡単に求められます。

Q複素積分 n乗

∫{z + (1/z)}^2n dz

∫{z + (1/z)}^2n+1 dz 
では答えが違います。留数定理を用いて解くのですが、n乗を微分するところで躓いています。どうか教えてください!!

ちなみに範囲は|z|=10です。

Aベストアンサー

>それは被積分関数をそのままの形で二項展開するのですか?
それとも{(z^2+1)/z}^(2n)の形にし、(z^2+1)^(2n)のとこを二項展開するのでしょうか?

どちらでも良い。
後者なら
展開後、z^(2n)で割れば、前者と同じになります。
いずれでもローラン展開が得られます。

積分に関係するのは展開後の(1/z)の項だけ。
その係数が留数です。

nが自然数の偶数なら
(z+(1/z))^(2n)の展開項には 1/zの項が存在しないので
積分路|z|=10内に一位の極(一位の特異点)が存在しない。
従って留数Res((z+(1/z))^(2n),0)=0なので留数定理より
 ∮{z + (1/z)}^2n dz=0
となります。

nが自然数の奇数なら
(z+(1/z))^(2n+1)の展開項には 1/zの項が存在しその係数は二項係数を使えば
 (2n+1)Cn=(2n+1)!/(n!(n+1)!)
となります。
積分路|z|=10内に一位の極(一位の特異点)はz=0だけで
従って留数Res((z+(1/z))^(2n+1),0)=(2n+1)!/(n!(n+1)!)
であるから留数定理より
 ∮{z + (1/z)}^(2n+1) dz=2πi*(2n+1)!/(n!(n+1)!)
となります。
複素積分=0となります。

>それは被積分関数をそのままの形で二項展開するのですか?
それとも{(z^2+1)/z}^(2n)の形にし、(z^2+1)^(2n)のとこを二項展開するのでしょうか?

どちらでも良い。
後者なら
展開後、z^(2n)で割れば、前者と同じになります。
いずれでもローラン展開が得られます。

積分に関係するのは展開後の(1/z)の項だけ。
その係数が留数です。

nが自然数の偶数なら
(z+(1/z))^(2n)の展開項には 1/zの項が存在しないので
積分路|z|=10内に一位の極(一位の特異点)が存在しない。
従って留数Res((z+(1/z))^(2n),0)=0なの...続きを読む


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