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【問題】
 次のR^3→R^3の写像が線形変換かどうか調べよ。もし線形変換ならば、その表現行列も示せ。

  x       x+y+z 
( y ) |→ ( 0 )
  z       xyz 

/* ----------------------------------------------------------------------- */

と言う問題です。
解答例として以下のように挙げられているのですが、解らない部分があります。

/* ----------------------------------------------------------------------- */

【解答例】

  x      x+y+z 
f( y ) = (  0  )  とおく。
  z       xyz  

   0      1        1      1+2+1     4
f(( 1 ) + ( 1 )) = f( 2 ) = (  0  ) = ( 0 )
   1      0        1      1*2*1     2

  0       1      0+1+1     1+1+0     4
f( 1 ) + f( 1 ) = (  0  ) + (  0  ) = ( 0 )
  1       0      0*1*1     1*1*0     0

なので、

   0      1        0       1
f(( 1 ) + ( 1 )) ≠ f( 1 ) + f( 1 )
   1      0        1       0

よって写像の線形性を満たさないので線形変換ではない。・・・(答)

/* ----------------------------------------------------------------------- */

上記解答例の

  0         1
( 1 ) および ( 1 ) はどこからくるのですか?
  1         0

あとの部分は解ります。宜しくお願いします。

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A 回答 (2件)

神様が与えてくれたんです.


というのは冗談ですが, この変換が「線形変換じゃない」と見たうえで, 「線形変換じゃない」ことを示すために適切と思われるものを任意に選んだだけです. 「それ以外はダメ」というものではありません.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

いわゆる背理法のようなものですね。
参考になりました。

お礼日時:2007/07/25 18:49

u =(x y z)^t


v = (x+y+z 0 xyz)^t
( )^t は行列転置を示す。

表現行列 F の 1, 2 行目はすぐわかります。
3 行目が怪しいですね。

 f(u) = v

 |1 1 1|
 |0 0 0| = F
 |?  ! #|

3 行目は、
 ?*x + !*y + #*z = xyz
右辺については、{x,y,z} のうちのどれか一つ(例えば z)が零だと、結果(xyz)は零。
左辺は、たとえ z が零でも (?*x + !*y) が零でなければ、全体(?*x + !*y + #*z) は非零。
これは明らかに非線形。

【解答例】は一例を示すことにより、
 f(u1+u2) ≠ f(u1)+f(u2)
を証明してるわけです。
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この回答へのお礼

別解の方ありがとうございました。

お礼日時:2007/07/26 20:13

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