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変分法の問題で、ベルトラミの公式を導く過程でdf=(dy/dx)・d(∂f/∂y')という式からf-y'・(∂f/∂y)=const.という式が導かれていますが、この式変形がお分かりの方、証明を教えて下さい。yはxの関数であり、fはyとy'の関数です。dy/dxが定数であれば理解できるのですが。よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

df=(dy/dx)・d(∂f/∂y') が違っているのでは?1項抜けている気がしますが・・・。



ベルトラミの公式の導出って、確かf=f(y,y’)のときに
df = (∂f/∂y)dy+(∂f/∂y')dy' を (∂f/∂y)y' = df/dx - (∂f/∂y')(∂y'/∂x) と変形して、あと、オイラー方程式∂f/∂y=d(∂f/∂y')/dx (うーん書きづらい)の両辺にy'かけたものと連立させて、うんぬんうんぬん・・・て感じではなかったでしたっけ?

他の書籍をあたってみること、お勧めしたい。
私の記憶違いだったらごめんなさい。

この回答への補足

確かにご指摘のとおり、fの全微分式を変形したものと、オイラー方程式の両辺にy'を掛けたものの連立方程式の問題です。これらを連立して(∂f/∂y)y'を消去すると、私が質問の欄に書いた1本の式になると思います。ここまでの変形は間違っていないと思っていますので、質問を書き易くするためにこのように簡略しました。もっと前の段階で書くとdf/dx=(dy/dx)(d/dx)(∂f/∂y')となりますが、この式の右辺のdy/dxをd/dxの中にもし入れられるとすると、つまりdf/dx=(d/dx)(dy/dx)(∂f/∂y')と変形できたとするとベルトラミの公式が導けると思いますが、yがxの関数である場合、この変形が出来るのかどうかが悩んでいるところです。もしかしたら、私の解釈が間違っているかもしれません。いずれにしても丁寧なお返事有難うございました。

補足日時:2007/08/11 12:32
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この回答へのお礼

解決方法が分かりました。df/dx=(d/dx)((dy/dx)(∂f/∂y'))=(d/dx)(dy/dx)・(∂f/∂y')+(dy/dx)・(d/dx)(∂f/∂y')=(d/dx)y'・(∂f/∂y')+(dy/dx)・(d/dx)(∂f/∂y')=(dy'/dx)・(∂f/∂y')+(dy/dx)・(d/dx)(∂f/∂y')=(∂y'/∂x)・(∂f/∂y')+(dy/dx)・(d/dx)(∂f/∂y')=(∂f/∂x)+(dy/dx)・(d/dx)(∂f/∂y')と変形でき、ベルトラミの公式が導かれるこの変分問題ではf=f(y,y')であって、fはxの関数ではないので、最後の式の第一項が0となり、結局df/dx=(dy/dx)・(d/dx)(∂f/∂y')と同じになることが分かりました。つまり、この問題で限定的にdy/dxを演算子d/dxの右側に含められのでしょう。後は両辺を積分すればベルトラミの公式が得られるので問題有りません。ご返事有難うございました。

お礼日時:2007/08/20 19:14

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Q楕円体の慣性モーメントの式

大学の授業で今、慣性モーメントを習っているのですが、少し疑問に思ったので教えてください。半径の長さx, y, zの楕円体の慣性モーメントはなぜIxx = (2/5)yzM Iyy = (2/5)zxM Izz = (2/5)xyM
Ixy = Iyx = Ixz = Izx = Iyz = Izx = 0と表せるのでしょうか?
できればインテグラルを使った式の形で教えていただきたいです。お願します。

Aベストアンサー

楕円体x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1の慣性モーメントは、
http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/inertiaTable1/
にあるように、
Ix=(1/5)(b^2+c^2)M
Iy=(1/5)(c^2+a^2)M
Iz=(1/5)(a^2+b^2)M
なので、とりあえずこれを求める方法を書いておきます。
楕円体の密度をρ、
x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1の体積領域をvとすると、
Ix=ρ∫[v](y^2+z^2)dxdydz
x=aX,y=bY,z=cZと変数変換すると、dxdydz=(abc)dXdYdZ、
X^2+Y^2+Z^2=1の体積領域をVとすると、
Ix=ρ∫[V](b^2Y^2+c^2Z^2)(abc)dXdYdZ
Vは球だから、
Z=rcosθ,Y=rsinθsinφ,X=rsinθcosφと変数変換すると、
dXdYdZ=(r^2*sinθ)drdθdφだから、
Ix=ρ(abc)∫[0→1]dr∫[0→π]dθ∫[0→2π]dφ{b^2*r^2*(sinθ)^3*(sinφ)^2+c^2*r^2*(cosθ)^2}
=ρ(abc)(1/5)(4π/3)(b^2+c^2)

M=ρ∫[v]dxdydz=ρ∫[V](abc)dXdYdZ
=ρ(abc)∫[0→1]dr∫[0→π]dθ∫[0→2π]dφ(r^2sinθ)
=(ρabc/3)(2π)∫[0→π]sinθdθ
=(ρabc/3)(4π)

よって、Ix=(1/5)(b^2+c^2)M
Iy,Izも同様
Ixy=∫[v]xy dxdydz なら、対称性より積分値は0.
Iyz,Izxなども同様

楕円体x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1の慣性モーメントは、
http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/inertiaTable1/
にあるように、
Ix=(1/5)(b^2+c^2)M
Iy=(1/5)(c^2+a^2)M
Iz=(1/5)(a^2+b^2)M
なので、とりあえずこれを求める方法を書いておきます。
楕円体の密度をρ、
x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1の体積領域をvとすると、
Ix=ρ∫[v](y^2+z^2)dxdydz
x=aX,y=bY,z=cZと変数変換すると、dxdydz=(abc)dXdYdZ、
X^2+Y^2+Z^2=1の体積領域をVとすると、
Ix=ρ∫[V](b^2Y^2+c^2Z^2)(abc)dXdYdZ
Vは球だから、
Z=...続きを読む


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