情報理論で下の問題が分かりません。

16進数4桁のデータを使って毎秒1データの速度で通信している。
通信機器が故障して1データ3桁で受信されるようになった。
いずれか1桁が消滅するようになったのだが,
消滅する桁は均等に分布し,どの桁か予想ができない。
このときの通信路容量を求めよ。

よろしくお願いします。

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A 回答 (5件)

「暇なときに」ということで暇が少しできたので補足要求込みの追加回答を。



普通符号理論では、データの一部が忽然と消えるというモデルじゃ
なくて、消失したことがわかる異常なデータに化けるというモデル
を使うんですけど、kazu3さんのモデルを使うということにして…

ただ、問題設定の確認ですが、「16進数4桁のデータ」とはどうい
う意味かはっきりさせてもらえないでしょうか?私の解釈は16進数
1桁というのは4ビットを表すから、それが4桁ということは1データ
=4x4ビットというものなんですが、これでいいのでしょうか?場合
によっては16進数などというと、0-9A-F の文字をASCIIで送るとい
う解釈もこじつけられますので。

stomachmanさんの解釈は1データ=4ビットということですね?その
解釈で、4ビットのデータのうちどれか1ビットが忽然と姿を消すの
だとすると、2回繰り返し法で送って毎秒2ビットというのが上限の
ような気がしますね。

で、私の解釈の1データ=4x4ビットが正しいとしたとき、繰り返し
で送ればarikaさんのいうように毎秒8ビットで送ることができます。
でも、少し工夫すればもうちょっと増やせます。各桁4ビットのう
ち1ビットを同期用に使い、必ず 0 1 0 1 と送ることにします。つ
まり、---0, ---1, ---0, ---1 という感じですね。こうすれば、
このうちの一つがごっそり消えたとき、どれが消えたかは必ず判明
します。そうなれば、4x3ビットのデータを送ったときにどれか一
つが消えて、しかもどれが消えたかわかる場合に帰着できますから、
一つをパリティ桁にしてしまえば確実に9ビットは送れます。

もともと、16ビット中4ビットが消失して、その位置を表す2ビット
の情報量も失なわれたとおおまかに考えられますから、10ビット送
れたらうれしいところですが、その方法はちょっと思いつきません。

話はもどって、1データ=4x1ビットの解釈で2ビット送れるのはこの
説明に矛盾するように見えますが(2 > 4-1-2)、失なわれた位置
を特定せずに復元できる方法なので、矛盾はしていません。
(って、どこかで答えた情報量の話の再燃か?^^;)
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通信路容量がよくわかりませんが、


かならず、3桁で送れるなら、STOMACHMANさんのコメントからヒントをえて考えると、送りたいデータがABなら、この伝送路にAABBとして送れば、AAB,ABBのいずれかで到達するので、この受信データからABを抽出することは可能と思えます。
ということは、16進4桁を2桁づつに切り分けて
2回送ればOKです。
単位はわかりませんが、16進4桁を1ワードとすると、
0.5ワード/秒ってことになりそうですが、
どうでしょうか?

もし答えなどがわかったら教えておいてください。
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1回あたり3文字しか届かないんだから、上限は高々3bit。

どの文字か欠けたか分からないので、3bit未満なのは確か。 1文字パリティを入れてもダメですね。

 普通の通信路容量の計算では、ランダムに誤りが発生し、通信が失敗したらやり直す、ということを含めて平均何bit送れるか、という問題ですから、4文字以上の単位でメッセージを構成する場合も考察しなくてはダメですが、この場合には丁度4文字毎に1文字欠けるという所が特殊ですんでかえって常套手段が使えない....
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よくわかりませんが、どの桁が消失しようと、毎秒3桁受信できるわけですよね?で、どの桁が消滅するか予想はできないけど、受信してみたらどの桁がきえたかはわかるんですね?送信側がそれを知っているなら、3桁のデータにパリティ桁をつけて送ってやれば、受信側で完全に復元できるんではないですか?それなら、容量も単純にわかりますよね?それともそれ以外の条件がついてるんでしょうか。

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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
多分,受信してもどれが消えたデータかは分からないと思います。
例えば000を受信しても,もとのデータが1000なのか,0000なのか
0100なのか,・・・
私はそのように解釈しました。
分かりにくくて申しわけありません。

お礼日時:2001/01/27 21:06

へんてこな故障の仕方もあったもんですねえ。



 AABBを送れば、どの文字が欠けても(そしてどれが欠けたか分からなくても)、受けた3文字のうち最初がAで最後がBです。だから少なくとも2文字、情報量として毎秒2bitまでは全く誤り無しに送れるのは確かですね。

上限の方はどうでしょうか。ランダムコードの誤り訂正符号の理論をちょっと応用すればできそうですけど....
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