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こんばんは。高校物理の単振動に関する問題です。
[問題]
振幅A、振動数fの単振動をしている物体の、振動の中心を原点としたとき、時刻tにおける物体の変位xを表す式を記せ。ただし、時刻t=0における変位はAであったとする。

[解答]
この解答として、単振動の変位はx=Asin(ωt+Φ)で与えられる。ω=2πfであり、周期t=0における変位はAであるから、Φ=π/2となり、x=Acos2πft 

とありました。ここで質問ですが、どうして単振動の変位は
x=Asin(ωt+Φ)という式が導き出されるのでしょうか?具体的に、Φとはどういうものですか?

 よろしくお願いします。

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A 回答 (5件)

[少し難しい解説]


もし高三で数学IIIを理解しているのなら、x=Asin(ωt+Φ)をtで二回微分してみてください。ωをうまく定めれば(具体的にはω=sqrt(k/m))、xが単振動の運動法方程式mx''=-k xを満たす解となっていることが分かるはずです。二階の微分方程式を解くには積分が二階必要で、数IIで習ったように二階積分すると一般をあらわすには二個の積分定数が必要です。(AとΦ)
(これが分かれば最高ですが、もしこれが分からなくても気にしないでください。勉強を続ければそのうち分かります)

[簡単な解説]
単振動がsinあるいはcosで表せる事を認めたとします。
振動を特徴付ける量は何でしょうか?
1.まず振幅を汁必要があります。これがAです
2.それから振動の速度の情報も必要があります。これがωです。
3.実はこれだけでは足りず、振動を完全に記述するには、振動開始の時(t=0)のときにどの位相にあったかをしる必要があります。バネの問題なら、t=0のときにバネが伸びているときに手を離す問題や、あるいは釣り合いの位置から何かではじいて振動を開始させる問題など、いろいろ考えられ、これを区別する必要があります。少し考えればΦの値を変えることで、これが式の上で再現できるのが分かるのではないでしょうか?
バネが伸びた状態から振動をはじめる、あるいは振り子が高い位置から振動をはじめるようなときは、x=Acos(ωt)になるのは参考書にも書いてあるでしょうが、実はΦ=90度 or pi/2ラジアンとすることで、同じ事が再現できます。つまりx=Asin(ωt+Φ)で全ての場合が再現できるのです。(中途半端な位置から振動をはじめた場合などもうまくΦを選べば大丈夫です)

こう考えると、
> ちなみに、参考書には単振動の変位に関する公式はx=Asin(ωt)
> となっておりますが、x=Asin(ωt)に対して、どのような条件付けがされるとx=Asin(ωt+Φ)になるのでしょうか?

この参考書の記述は一般的には正確ではなく、単振動の変位の公式はx=Asin(ωt+Φ)とするべきです。ではどの条件のもとでx=Asin(ωt)になるかが問題になります。それはΦ=0の時です。これは物理的にはバネが釣り合いの位置から振動をはじめたり、振り子が最下点から上昇することで振動をはじめたりしたときです。サイン関数のグラフを思い浮かべてみてください。

参考になれば幸いです。

この回答への補足

大変わかり易い解説ですね。だいぶんすっきりと整理できました。
ありがとうございます。

補足日時:2007/08/21 06:42
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
さんこうにさせていただきます。

お礼日時:2007/08/21 05:10

ちゃんと計算なさって下さい。


これはラジアン化せずに度数で計算していますね。

Φ=π/2
90度、スタート位置ですね。
90度は最初に加えねばなりません。

ここからは計算です。

0度から開始します。

なら、0~90度、91~180度へと角度は変わります。
この間は180度、弧度法ではπです。
そのπ/2は90度を意味します。

ω=2πf
2π=360度
f=回転数(fは1/8で45度を意味する)
x=Acos2πft →X=RCOS(度数)(90度+45度)

サイン30度=コサイン60度は分かるよね。

90度から91度への計算は、89度で行うか、1度でサインコサインを入れ替えねば計算が合いません。

どう言う連続計算法を用いるのか?
先生に良く聞いてみて。(ラジアンで計算やっちゃってるんで)

まじに専門家こねーかなー。^^;
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
参考にします。

お礼日時:2007/08/21 06:45

A2です



すみません F=kx ではなくて、

F=-kx  です。

以下 全部 -kx としてください。



 
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A1さんの回答にもありますが、



こういう式であらわされる運動が単振動です・・・・・・・・・

とはいってもなかなか納得できないかも知れませんね。

単振り子やばね振り子が往復運動するのは、つりあいの位置(中心)に戻ろうとする力(復元力)がはたらくからです。

F=kx というおなじみの式です。 これと、運動方程式 F=ma とから、

kx=ma となります。

高校物理では、微分積分の計算は使いませんので、これ以上は苦しいですが、 加速度aは変位xを2回微分したものですので、上の式を微分方程式として解くと、
x=Asin(・・・)という式を求めることができるのです。

この式のφは、初期位相といいます。

 http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~masako/exp/kichu/ …


このサイトで、右のグラフが単振動の上下動と考えてください。 このグラフでは、変位0から、よーいドンとスタートしてますが、30°の位置からスタート(つまり、t=0のとき30°の位置にいる)したとしたら、初期位相が30°、つまり、上の式でφ=30°ということです。

変位0からスタートしたら、φ=0 つまり、φなしの式でいい。センター試験程度の範囲では大体これでいけます。中途半端なところからスタートしたら、φを式の中に入れないといけない。大学受験の難しい問題ではこういうケースもある、という感じです。

あんまりうまく説明できませんので、 単振動 方程式 などで検索したり、参考書などで確認してみて下さい。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
参考にします。

お礼日時:2007/08/21 05:07

こういう質問が回答者を一番悩ます質問ですが、高校生だから何とか回答してあげないといけませんね。


単振動とは時間の経過につれて、x=Asin(ωt+Φ)の式に従うものを言います。別に導きだされたのではなく、この式で示される動きを単振動と呼ぶことにしたのです。誰が?なんて聞かないで下さいよ。
この式におけるΦは時間がt=0の時の位相です。言い換えると、振動の開始位置を決めるための定数です。
直線の一般式は、y=aX+b ですね。 この式のbに代わるものです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。なんとなくわかってきました。
 つまり、X-Y平面においてsinカーブを考えた時に、本来原点を通るべきsinカーブが、t=0の時振幅Aという条件に従い、原点がX方向にπ/2進んだため、x=Asin(ωt+Φ)という式になったということですね。ということは、もし仮に、t=0の時に振幅が0ならΦ=nπ (nは整数)ということですね。
 ちなみに、参考書には単振動の変位に関する公式はx=Asin(ωt)
となっておりますが、x=Asin(ωt)に対して、どのような条件付けがされるとx=Asin(ωt+Φ)になるのでしょうか?
 素朴な疑問です。よろしくお願いします。

お礼日時:2007/08/20 23:43

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展開すると
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更に
acosφ=A
-asinφ=B
と置くと
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になり
微分すると
v=-Aωsin(ωt)+Bωcos(ωt)
となります。

これに関して3つほど教えていただきたいのですが
初期条件x=a,v=0が与えられたとしたらどう代入すればよいのでしょうか?
途中でAやBなど任意定数に置き換えたのはは何故なのでしょうか?
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どう使い分けるのでしょうか?

なお手元の資料ではωの部分は√(k/mになっています。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>初期条件x=a,v=0が与えられたとしたらどう代入すればよいのでしょうか?
>途中でAやBなど任意定数に置き換えたのはは何故なのでしょうか?

今回の初期条件ではあまりありがたみがわかない置換えですが、これが初期条件がx(0)=x0,v(0)=v0と書かれているとこの置換えのありがたみがわかると思います。

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>今回はxをa cos(ωt+φ)で始めましたがa sin(ωt+φ)と書いてある類題があります。
>どう使い分けるのでしょうか?

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まず位置エネルギーの前に,その基礎となるエネルギー原理を理解されるとすっきりすると思います。

エネルギー原理
--------------------------------
運動エネルギーの変化=された仕事
--------------------------------
Δ(1/2・mv^2) = W
or
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物体を高さhまでもちあげるとき,
手力がした仕事:F×h = mgh
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拡張されたエネルギー原理
----------------------------------------------------------------------
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----------------------------------------------------------------------
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つまり,位置エネルギーとは

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Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

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いささか、思い違いのようです。

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Q単振り子の運動方程式

重力加速度g、質量m、紐の長さl、空気抵抗無視。

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θl=x
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⇔mlθ"=-mgsinθ  どういう座標系の運動方程式なの?
そしてこれの一般解はどういう風になりますか?
初期条件としてt=0でθ=φとします。

Aベストアンサー

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

  y
  ↑
  ・→x
   \
   →\
   θ \
      ●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ  (1)
y= -l cosθ  (2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」などとわざわざ断っていないわけです。
極座標系に移行したことで問題の本質はx(t), y(t)の代わりにl(t), θ(t)を求めることに帰着します。大抵の場合はひもは伸び縮みしないと仮定しますのでlについて解く必要はなく、θについてのみ解くことになります。その方程式が
ml(d^2θ/dt^2)= -mg sinθ  (3)
なわけです。

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sinθ≒θ  (4)
の近似を行って解きます。このとき(3)は
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だと分かります。αはC sinα=φを満たす定数です。
2階の微分方程式ですが初期条件が「t=0でθ=φ」の一つしか与えられていないので、定数が一つ未定のまま残ります(*1)。

愚直に微分方程式を解くのであれば下のようにやります。
l(d^2θ/dt^2)(dθ/dt) = -g θ(dθ/dt)
d/dt {(dθ/dt)^2} = -(g/l) d/dt (θ^2) ←両辺に(dθ/dt)をかけた上で、積の導関数の公式((y^2)'=2y y')を逆に使った
(dθ/dt)^2 = -(g/l) θ^2 +C1 ←C1は積分定数
dθ/dt = √{-(g/l) θ^2 +C1}  (7)
ここでθ=√(l/g)√C1 sinψと変数を変換すると
dθ/dt = √C1√(1-sin^2 ψ)  (8)
を経て
√(l/g)√C1 cosψ dψ = √C1 cosψ dt  (9)
と変形でき、両辺を積分することで
√(l/g) ψ= t+C2 ←C2は積分定数  (10)
を得ます。θの表式に戻すと
θ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g) (t+C2)}  (11)
となります。これは本質的に(6)と同じ式です。初期条件「t=0でθ=φ」を代入することで
φ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g)C2}  (12)
を得ます。これを使うと(11)からC1, C2のいずれかを消去できます。初期条件がもう一つあれば運動は一意に定まります(脚注参照)。

もちろん、「軌道に沿ってx軸を定める」でも解けます。この場合の運動方程式は
m(d^2 x/dt^2)= -mg sin(x/l)  (13)
となります。本質的に(3)と同じであることは申し上げるまでもなく、同様に解くことができます。

考え方は上記でよいはずですが中間で計算ミスがあるかも知れませんので、ONEONEさんご自身でも確認しながら読んで頂けると幸いです。

*1 もし初期条件が「t=0でθ=φまでおもりを持ち上げて手を放す」という意味であれば、「θの最大値はφ(厳密には|φ|)」という条件が新たに加わるので運動は一意に定まります。この場合はφsinα=φからα=π/2、よってθ=φsin{√(g/l) t+(π/2)}=φcos{√(g/l) t}と求めることができます。

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

  y
  ↑
  ・→x
   \
   →\
   θ \
      ●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ  (1)
y= -l cosθ  (2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q単振動の運動方程式の解(複素数表示?)

中学の者ですが、なんとか独学でここまで理解しています。
答えの載っていない参考書を持っていて、
それを読みながら勉強しているのですが、
ある問で、
微分方程式m(d^2x/dt^2)=-kt
の解は
x=A*exp(iωt)+B*exp(-iωt)   (ただしω=√(k/m) )
の形で表わされることを示せ
というのがありました。
微分方程式の解き方は分かっていたので、素直に
x=C*sin(ωt+D)   (CとDは定数)
としました。
ここからどうやって示すべき式に持っていくのでしょうか。
見当がつきません。
それから、速度をあらわす式vを時間tで表わし、
t=0のときx=a、t=0のときv=0という条件で、A,Bを
aとωを用いて表せというのもありました。
これは与えられた
x=A*exp(iωt)+B*exp(-iωt) 
をそのままtで微分していいということなのでしょうか。
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ωは出てきませんでした。

いま一つ問題が何を読者に気付いてほしいのかわからないことと、
最初に書きました表示の部分が分かりません。
どなたか詳しく教えていただけませんか。お願いします。

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Aベストアンサー

とりあえずよくつかわれる解法です。
与えられた式は
m(d^2x/dt^2)+kx=0・・・(1)
です。
ここで、x=exp(λt)…(※)とおいて(1)に代入すると
mλ^2+k=0・・・(2)
の関係が得られる。
これの根はλ+=+j√(k/m)=jω、λ-=-j√(k/m)=-jωです。(ω=√(k/m)とおきました)

これらから得られる解(λ+,λ-を(※)に代入)を線形結合して、
x=A*exp(jωt)+B*exp(-jωt)
です。
(No.4さんのリンク先の、2階の場合 を参考にしてください)


質問者さんのような解法でいくなら、
x=C*sin(ωt+D)
=C*sinωt*cosD+C*cosωt*sinD
=Asinωt+Bcosωt(C*cosDも、C*sinDも定数なので、A,Bに置き換えました)
これにNo.3さんリンクのオイラーの公式を当てはめてみてください。


速度はおっしゃるとおりの解法で兵器です。xを時間微分して、初期条件を代入すれば、係数が決まります。


問題の意味というのは難しいですが・・・ 質問の微分方程式は、単振動の微分方程式(調和振動)と呼ばれています。物理において基本的な微分方程式の1つであるため、これを解けるようにしておくことはとっても意味があります。(ニュートンの運動方程式はxの二階微分方程式ですよね!!)
(d^2x/dt^2)=-(k/m)x
という式は、
「自分自身を二階微分すれば、係数が-(k/m)が出てくるけど、自分自身は変わらない」という風に見えるので、確かにsin,cos やexp(j~),exp(-j~)
って感じがしませんか?

2問目は、初期条件によって、係数が定まることを教えたいのかと思います。(係数が定まるということは、ある初期条件のもとでの物体の運動(x)が一意に表現できる ということ。)

とりあえずよくつかわれる解法です。
与えられた式は
m(d^2x/dt^2)+kx=0・・・(1)
です。
ここで、x=exp(λt)…(※)とおいて(1)に代入すると
mλ^2+k=0・・・(2)
の関係が得られる。
これの根はλ+=+j√(k/m)=jω、λ-=-j√(k/m)=-jωです。(ω=√(k/m)とおきました)

これらから得られる解(λ+,λ-を(※)に代入)を線形結合して、
x=A*exp(jωt)+B*exp(-jωt)
です。
(No.4さんのリンク先の、2階の場合 を参考にしてください)


質問者さんのような解法でいくなら、
x=C*sin(ωt+D)
=C*sinωt*cosD+C*...続きを読む

Q物理 ばねにつながれた二物体の運動

質量M,mの質点をばねでつなぎ、なめらかなx軸上水平面で質量Mの質点に任意の初速を与えた時の運動を解析したいのですが、運動方程式の立て方がわかりません。
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ここで説明すると大変なので、下記などを参照してください。手抜きですみません。

http://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%8C%AF%E5%8B%95%E3%81%A8%E6%B3%A2%E5%8B%95_%E8%A4%87%E6%95%B0%E7%B2%92%E5%AD%90%E3%81%AE%E6%8C%AF%E5%8B%95

http://rokamoto.sakura.ne.jp/education/physicsI/two-body-coupled-spring-qa080724.pdf

Q垂直抗力=0のときって?

物理の問題を解いてみたら解けなくて解答を見たら「小球が斜面上を運動する条件は、垂直抗力≧0」とありました。私は垂直抗力=0ならば斜面から離れると思っていたので、垂直抗力>0として解いていたため解けなかったようです。私は垂直抗力=0のときって斜面上って言えるのですか?そして垂直抗力が0で面に触れている状態の例を教えていただけませんか?よろしくお願いします。

Aベストアンサー

私も等号を含めるか含めないかについては
どうでもいいと思います。
(特に力学のように工学に密接した分野においては)

垂直抗力>0としたら解けなかった、とありますが、
これも気持ち次第じゃないでしょうか。

斜面上を運動する条件は垂直抗力>0と信じていたとしても、その極限として垂直抗力=0を考えて
この問題を解く、と割り切ればいいのです。
出題者も、そこまで厳密に考えているとは
思えないですよ。

ちなみに私の考えでは、垂直抗力=0は、現実問題
としては、斜面に少なからず凹凸があり、
小球は斜面から離れると思います。
しかし、斜面をより精密に滑らかにすれば、
さきほどよりは斜面から離れなくなると思います。

そしてさらに斜面を滑らかにして…
と繰り返していけば、
「垂直抗力=0で斜面から離れない」といった
現実ではちょっと考えられないような状態に
どんどん近づいていくはずです。

その極限を私はイメージします。
もっとも、これは極限だから、実際にはありえないでしょうけど。

もし工学的に応用したいのであれば、
いくらかの余裕(マージン)を見ておけば
実用上問題ないでしょう。

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この問題を解く、と割り切ればいいのです。
出題者も、そこまで厳密に考えているとは
思えないですよ。

ちなみに私の考えでは、垂直抗力=0は、現実問題
としては、斜面に少なからず...続きを読む

Q蒸気圧ってなに?

高校化学IIの気体の分野で『蒸気圧』というのが出てきました。教科書を何度も読んだのですが漠然とした書き方でよく理解できませんでした。蒸気圧とはどんな圧力なのですか?具体的に教えてください。

Aベストアンサー

蒸気圧というのは、主として常温付近で一部が気体になるような物質について用いられる言葉です。

液体の物質の場合に、よく沸点という言葉を使います。
物質の蒸気圧が大気圧と同じになったときに沸騰が起こります。
つまり、沸点というのは飽和蒸気圧が大気圧と同じになる温度のことを言います。
しかし、沸点以下でも蒸気圧は0ではありません。たとえば、水が蒸発するのは、常温でも水にはある程度の大きさ(おおよそ、0.02気圧程度)の蒸気圧があるためにゆっくりと気化していくためであると説明できます。
また、油が蒸発しにくいのは油の蒸気圧が非常に低いためであると説明できます。

さきほど、常温での水の飽和蒸気圧が0.02気圧であると述べましたが、これはどういう意味かと言えば、大気圧の内の、2%が水蒸気によるものだということになります。
気体の分圧は気体中の分子の数に比例しますので、空気を構成する分子の内の2%が水の分子であることを意味します。残りの98%のうちの約5分の4が窒素で、約5分の1が酸素ということになります。

ただし、上で述べたのは湿度が100%の場合であり、仮に湿度が60%だとすれば、水の蒸気圧は0.2x0.6=0.012気圧ということになります。

蒸気圧というのは、主として常温付近で一部が気体になるような物質について用いられる言葉です。

液体の物質の場合に、よく沸点という言葉を使います。
物質の蒸気圧が大気圧と同じになったときに沸騰が起こります。
つまり、沸点というのは飽和蒸気圧が大気圧と同じになる温度のことを言います。
しかし、沸点以下でも蒸気圧は0ではありません。たとえば、水が蒸発するのは、常温でも水にはある程度の大きさ(おおよそ、0.02気圧程度)の蒸気圧があるためにゆっくりと気化していくためであると説明できま...続きを読む


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